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4 万有引力理论的成就
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法.
一、计算天体的质量 1.称量地球的质量
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg＝G2.
MmRgR2
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.
G2.太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.
GMm4π2
(2)关系式：2＝m2r.
rT4πr(3)结论：M＝2，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量.
23
GT(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M. 二、发现未知天体
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.
1.判断下列说法的正误.
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.( × )
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.( × ) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( × ) (4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.( √ ) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.( × ) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( √ ) 2.已知引力常量G＝6.67×10质量约为( ) A.2×10kg
18
－11
N·m/kg，重力加速度g＝9.8 m/s，地球半径R＝6.4×10m，则可知地球的
2226
B.2×10kg
20
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C.6×10kg 答案 D
【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量
22
D.6×10kg
24
一、天体质量和密度的计算
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度.
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.
MmgR2
(2)由mg＝G2得，M＝
RGMM3gρ＝＝＝.
V434πGRπR3
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
223
Gm地M太4π4πrM太
答案 由2＝m地2r知M太＝可知，若要求太阳的密2，可以求出太阳的质量.由密度公式ρ＝
rTGT43
πR太
3
度还需要知道太阳的半径.
天体质量和密度的计算方法
情景 重力加速度法 已知天体(如地球)的半径R和天环绕法 行星或卫星绕中心 体(如地球)表面的重力加速度g 天体做匀速圆周运动 行星或卫星受到的万有 引力充当向心力： 物体在表面的重力近似等于天体思路 Mm2πG2＝m()2r rT(如地球)与物体间的万有引力：Mmmg＝G2 RMmv2(G2＝m rr或G2＝mωr) Mmr2 精品 中心天体质量： 天体(如地球)质量： 天体质量 gR2M＝ G4πrrvM＝ 2(M＝232GTGr3ω2或M＝) Gρ＝M43πR3＝3πr3天体密度 ρ＝M4πR33g＝ 4πRG3GT2R3(以T为例) 利用mg＝说明 GMm求M是忽略了天体由F引＝F向求M，求得的是中心R2天体的质量，而不是做圆周运动的天体质量 自转，且g为天体表面的重力加速度 例1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，忽略该天体的自转. (1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ 3π3π?R＋h?答案 (1)2 (2) 23
3
GT1GT2R解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
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Mm4π24πR(1)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，M＝
RT1GT12
43
根据几何知识可知天体的体积为V＝πR
3
23
M4πR3π
故该天体的密度为ρ＝＝＝2.
V4GT1
GT12·πR3
3
(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有
2
Mm4πG(R＋h) 2＝m?R＋h?T22
4π?R＋h?M＝ 2
23
GT2
M4π2?R＋h?33π?R＋h?3ρ＝＝＝
V4GT22R323
GT2·πR3
【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度
求解天体质量和密度时的两种常见错误
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4πr1.根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量.
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GT2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天3πr体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝23误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周
3
GTR运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.
针对训练1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动1
半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
20A.
1
B.1C.5D.10 10
答案 B
Mm4π2r3
解析 由G2＝m2r得M∝2
rTT已知
r511T514M恒133652
＝，＝，则＝()×()≈1，B项正确. r地20T地365M太204
【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量
例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求： (1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案 (1)4∶1 (2)64∶1
GMmgR2M解析 (1)由2＝mg得M＝，所以ρ＝＝
RGV4
gR2
GπR3
3g3gR3g4πGρ地g＝，R＝，＝·＝＝4. 4πGR4πGρR地4πGρ3g地g地3
gR2MgR2G(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M＝得＝·＝64.
GM地Gg地R地2
【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 二、天体运动的分析与计算
1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即
F引＝F向.
2.常用关系：
2
Mmv24π2
(1)G2＝man＝m＝mωr＝m2r.
rrT(2)忽略自转时，mg＝G2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR＝GM，该公式通常
MmR2