由电势叠加原理有：Uq'qO?4π????0
0R4π03R解得：q???q3
9.25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0。试求：
⑴ 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；⑵ 小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力。
2解：由题意知：F?q04π?
0r2⑴ 小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电：q??q2, 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电：q???3q4
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力：Fq'q\3q2831?4π?2??F0 0r4π?0r28⑵ 小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为2q3。
2∴ 小球1、2间的作用力F2?3q23q4π??4F0 0r299.26 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q。试求：
⑴电介质内、外的场强；⑵电介质层内、外的电势；⑶金属球的电势。
解：⑴ 由有介质时的高斯定理?D??d?介质内(R?SQr?S??q得：
1?r?R2)场强：D?4πr3,E?Qr?内?4π?3; 0?rr介质外(r?R?Qr?2)场强：D?4πr3,E?Qr外?4π?3 0r ⑵ 介质外(r?RQ2)电势：U???rE??外?dr?4π?0r 介质内(R1?r?R2)
电势： U?
??rEv?drv???vv内rE外?dr ?q11QQ1??r?1
4π?(?)??(?)0rrR24π?0R24π?0?rrR2⑶ 金属球的电势：R2Ev
U??drvR?1??REvdrv内?2外? ??R2Qdr?QdrQ1?r?1 R4π?2?0?rr?R??(?)24π20r4π?0?rR1R29.27 如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为
?r的电介质。试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值。
解：如题9.27图所示，充满电介质部分场强
为E?E?2，真空部分场强为1，自由电荷面密度
分别为??2与??1
由?D?dS??q0得：D1??1，D2??2
而DU1??0E1,D2??0?rE2，E1?E2?d，∴ ??2??0?rE2??r
1?0E19.28 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质。当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：
⑴在半径r处(R1＜r＜R2)，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳
中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； ⑵电介质中的总电场能量；⑶圆柱形电容器的电容。解：取半径为r的同轴圆柱面(S)，则：?D??dS?
(S)?2πrlD
当(R1?r?R2)时，
?q?Q，∴ D?Q2πrl ⑴ 电场能量密度 w?D22??Q28π2?r2l2 薄壳中dW?wd??Q28π2?r2l22πrdrl?Q2dr4π?rl
⑵ 电介质中总电场能量：W??dW??RQ22drQ2Rπ?rl?4π?lln2VRR
141Q2Q2⑶ 电容：由W?2C得：C?2π?l2W?ln(R 2/R1)
9.29 如题9.29图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F。C1上电压为50V。求：UAB。
解： 电容C1上电量：Q1?C1U1， 电容C2与C3并联C23?C2?C3， 其上电荷QQ23C1U23?Q1，∴ U2?C?1C?25?50 232335 UAB?U251?U2?50(1?35)?86 V
9.30 C1和C2两电容器分别标明“200pF、500V”和“300pF、900V”，把它们
串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000V的电压，是否会击穿? 解：⑴ C1C2200?3001与C2串联后电容：C??CC?C??120pF
12200?300⑵ 串联后电压比：
U1U?C2C?3，而U1?U2?1000 212∴ U1?600V,U2?400V
即电容C1电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿。
9.31 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求： ⑴ 整个电场储存的能量；
⑵ 如果将导体壳接地，计算储存的能量； ⑶ 此电容器的电容值。
解：如图，内球带电Q，外球壳内表面带电-Q，外表面带电Q，
⑴ r?R1和R2?r?R?3时，?E?0； ?R?r?R?Qr?Qr12时，E1?4π?；r?R3时，E2? 0r34π?0r3∴ 在R1?r?R2区域内：
W21Q2RQ22dr1??RR12?4π?2r2dr?0r?Q2110()4πR8π??(?)
10r28π?0R1R2在r?RW?1Q22Q213区域：2??R?320(4π?)4π 0r2rdr?8π?0R3∴ 总能量 W?WQ21111?W2?8π?(?R?)?1.82?10?4J
0R1⑵ 导体壳接地时，只有R?2R3Qr?1?r?R2时E?4π?3,W2?0 0r∴ W?WQ211?41?8π?(?R)?1.01?10 J
0R12⑶ 电容器电容 C?2W11)?4.49?10?12Q2?4π?0/(R?F 1R2