第9章 静电场
9.7 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9 C/m的正电荷。试求：⑴ 在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；⑵ 在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强。 解：⑴ 如题9.7图所示，在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为：dEP?1?dx4π?a?x)2 0(E?l2P??dEP?4π??dx0?l2(a?x)2 ??4π?[11a?l2?a?l2]0
??lπ?20(4a?l2)用l?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得：
EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右
⑵ 同理，dE1?dxQ?4π??d2 方向如题9.7图所示
0x22由于对称性?ldE，即E?Qx?0Q只有y分量，
∵ dE?1?dxd2Qy4π?0x2?d2
2x2?d22lE?dEd?Qy?Qy?22dx?ll4π?2??l2(x2?d232?2)2π?22 0d2l?4d2以??5.0?10?9C?cm?1,l?15cm,d2?5cm代入得：
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
9.8 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强。 解：如9.8图在圆上取dl?Rd?
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为：
dE??Rd?4π?，方向沿半径向外，
0R2则：dE?x?dEsin??4π?sin?d?
0R dE??y?dEcos(???)?4π?cos?d? 0R积分得：E??x??04π?sin?d???2π?
0R0R Ey?????04π?cos?d??0 0R∴ E?E?x?2π?，方向沿x轴正向。
0R9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q。⑴求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；⑵证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E。
解：如9.9图示，正方形一条边上电荷
q4在P点产生物强EvP方向如图，大小为：
E??cos?1?cos?2?P?4π?22 0r?l4∵cos?l21?r2?l22 ，cos?2??cos?1
∴ E?lP?4π?2222
0r?l4r?l2EvP在垂直于平面上的分量E??EPcos?
∴ E?lr??4π?222222
0r?l4r?l2r?l4由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为：
E4?lrPO?4?E??4π?2222 0(r?l4)r?l2∵ ??q4l ∴ EqrP?4π?2222 , 方向沿OP
0(r?l4)r?l29.10 ⑴ 点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿
过立方体的一个面的电通量；⑵ 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少? 解： ⑴ 立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电
通量相等，由高斯定理??vsE?dSv?q?0得：各面电通量?e?q6?。 0⑵ 电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的
立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?qe?6?
0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?qe?24?，
0如果它包含q所在顶点则?e?0。
9.11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10?5C/m3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强。 解：高斯定理????qsE?dS??,E4πr2??q0?
0r?5cm时，?q?0,E??0
r?8cm时，?q?p4π333(r?r内)
?4π?33r?r2内?∴ E?4π?2?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外。 0rr?12cm时,?q??4π3(r33外?r内） ?4π??∴ E?3r33外?r内4π?2?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 0r9.12 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求：⑴r＜R1；⑵ R1＜r＜R2；⑶ r＞R2处各点的
场强。
解：取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl，则：??SE?dS?E2πrl ⑴ r?R1时，
?q?0，由高斯定理?E?dS?????qs?得：E?0； 0⑵ R??1?r?R2时，?q?l?，由高斯定理?E?dS??qs?得： E??02π? 沿径向向外；
0r⑶ r?R2时，
?q?0，由高斯定理????qsE?dS??得：E?0
09.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，
试求空间各处场强。
解：如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
两面间， E??12?(???1?2)n ??01?1面外，E??2?(?1??2)n
??012???n?2面外，E?(1??2)n， ：垂直于两平面由?1面指为?2面。
09.14 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题9.14图所示。试求：两球心O与O?点的场强，并
证明小球空腔内的电场是均匀的。
解：将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题
9.14图(a)。
⑴ ??球在O点产生电场E?10?0，
?? 球在O点产生电场Ev?43?πr3?uuuur204π?OO' 0d3∴ O点电场E?r3?0?3?d3OO'； 0⑵ ??在O?产生电场Ev43??d3?uuuur10??4π?d3OO'
0??球在O?产生电场E?20??0
∴ O? 点电场 E??0??3?OO' 0
题9.14图(a) 题9.14图⑶ 设空腔任一点?P相对O?的位矢为r?(b)
?，相对O点位矢为?则：E??r??r??r(如题8-13(b)图)，
PO?3?，EPO???03?,
0∴ E??E???????d?PPO?EPO??3?(r?r?)?OO'? 03?03?0∴腔内场强是均匀的。
9.15 一电偶极子由q=1.0×10-6C
的两个异号点电荷组成，两电荷距离
d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105 N/C的外电场中，求外电场作用于电偶
极子上的最大力矩。? 解：∵ 电偶极子p在外场E?中受力矩：M??p??E?
∴ M?62?10?3?1.0?105?2.0?10?4max?pE?qlE?1.0?10?N?m
9.16 两点电荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间
的距离变为r2=25cm，需作多少功? 解： A??r2Fv?drv??r2q1q2drqq2rr??6.55?10?6J(1?1124π?2?1)
0r4π?0r1r2外力需作的功A???A??6.55?10?6 J
9.17 如题9.17图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，
AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，
求移动过程中电场力作的功。 解：UO?14π?(q?q)?0 0RRU14π?(qR?qR)??q6π? ∴ A?qqoqC?0(UO?UC)?6π? 030R0R9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导
线的长度和半圆环的半径都等于R。试求环中心O点处的场强和电势。
解：⑴ 取dl=Rdθ,则dq=λRdθ在O点产生dE?如图，由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，由于对称性， O点场强沿y轴负方向。
?E??dE?Rd????y??2??24π?0R2cos??4π?R?sin(?2)?sin????2?2π? 0???0R⑵ 令U??0，AB电荷在O点产生电势为：
U?dx1??AB4π?0x??2R?dxR4π???ln2；
0x4π?0同理CD产生的：U?2?4π?ln2；半圆环产生的：UπR??3?? 04π?0R4?0∴ U?O?U1?U2?U3?2π?ln2?? 04?09.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104 m/s的匀速率作圆周运动。
求带电直线上的线电荷密度。(电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C) 解：设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强：E??2π?
0r电子受力大小：F?eE?e?e?v2e2π?，∴ r?mr
0r2π?0解得：??2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1e 9.20 空气可以承受的场强的最大值为E=30 kV/cm，超过这个数值时空气要发生火花放电。今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此
电容器可承受的最高电压。
解： 平行板电容器内部近似为均匀电场：U?Ed?1.5?104V
9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，⑴相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；⑵相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证：如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，?3，?4 ⑴ 则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱
面为高斯面时，有：?sE??dS??(?2??3)?S?0
∴
?2??3?0 ，说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
⑵ 在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产
生的场强叠加而成的，即：
?1?2?3?2????4?0 02?02?02?0又∵ ?2??3?0， ∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同。 9.22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm。B，C都接地，如题9.22图所示。如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解：如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为σ1，右侧面电荷面密度为?2 ⑴ ∵ UAC?UAB，即：EACdAC?EABdAB ∴
?1??EACE?dAB?2，又?q2?A，解得：??qA2q23S，?A1+?1? 2ABdACS3S∴ qS??2q7C???13A??2?10?7C，qB???2S??1?10?C ⑵ U?1A?EACdAC??dAC?2.3?103V 09.23 两个半径分别为R1和R2(R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：⑴ 外球壳上的电荷分布及电势大小；⑵
先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*⑶ 再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量。
解： ⑴ 内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
U???RE??dr????qdr2R24π??q
0r24π?0R⑵ 外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q。所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：U?q4π??q??0
0R24π0R2⑶ 设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
Uq'q'?q?q'RA????R?0，解得：q??14π0R14π?0R24π?02Rq
2外球壳上电势：Uq'?q?q'?R1?R2?qB?4π??q'0R24π??0R24π?R?2 024π?0R29.24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0