第四章
复习题
1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，
为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数
用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
?t8．有人对一阶导数?xn,i?i??i??i??3tn?5tn?1?tn?2?2?x2
你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根?n(n?1,2?,6):
?n
a?Fo?2?0.2?并用计算机查明，当时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。
解：?ntan?n?Bi，不同Bi下前六个根如下表所示： Bi μ1 μ2 μ3 μ0.1 1.0 10 0.3111 0.8603 1.4289 3.1731 3.4256 4.3058 6.2991 6.4373 7.2281 μμtan?n?Bi,n?1,2,3?4 5 6 9.4354 9.5293 10.2003 12.5743 12.6453 13.2142 15.7143 15.7713 16.2594 Fo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表：
Fo=0.2 x?? Bi=0.1 Bi=1 0.94879 0.95142 0.99724 0.62945 0.64339 0.97833 Bi=10 0.11866 0.12248 0.96881 Bi=10 0.83889 0.82925 1.01163 Bi=10 第一项的值 前六和的值 比值 第一项的值 前六项和的值 比值 Fo=0.2 x?0 Bi=0.1 Bi=1 0.99662 0.994 1.002 0.96514 0.95064 1.01525 Fo=0.24 x?? Bi=0.1 Bi=1 第一项的值 前六项的值 比值 第一项的值 前六项和的值 比值 0.94513 0.94688 0.99814 0.61108 0.6198 0.98694 0.10935 0.11117 0.98364 Bi=10 0.77311 0.76851 1.00598 Fo=0.24 x?0 Bi=0.1 Bi=1 0.99277 0.99101 1.00177 0.93698 0.92791 1.00978 4-2、试用数值计算证实，对方程组
用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。
解：将上式写成下列迭代形式
?x1?2x2?2x3?1????x1?x2?x3?3??2x?2x?x?5?23?1?
?x1?1/2?5?2x2?x3?????x2?1/2?1?2x3?x1???x?3?x?x?12?3?
假设2,3初值为0，迭代结果如下：
迭代次数 0 1 2 3 4
xxx1 0 2.5 2.625 2.09375 2.6328125
x2 0 -0.75 0.4375 - 1.171875 1.26171825
x3 0 1.25 -0.0625 2.078125 -0.89453125
显然，方程迭代过程发散
因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算
t1,t2,t3,t4之值。
解：温度关系式为：
?t1?1/4?t2?t3?40?30???t?1/4?t?t?20?30???2?14????t?1/4t?t?30?1514?3???t4?1/4?t2?t3?10?5??? ?0??0??0??0?t?t?20t?t?15℃ 234开始时假设取1℃；
得迭代值汇总于表
迭代次数
0 20 20 15 15
1 26.25 22.8125 21.5625 14.84375 2 28.59375 23.359375 22.109375 15.1171875 3 28.8671875 23.49609375 22.24607565 15.18554258
4 28.93554258 23.53027129 22.28027129 15.20263565 5 28.95263565 23.53881782 22.28881782 15.20690891 6 28.9569089 23.54095446 22.290955445 15..20797723 其中第五次与第六次相对偏差已小于10迭代终止。
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方法求解节点2，3的温度。图中
?4t0?850C,tf?250C,h?30W/(m2.K).肋高H=4cm,纵
2剖面面积AL?4cm,导热系数??20W/(m.K)。
解：对于2点可以列出：
t?tt1?t2???34?2h?x(t1?t2)?0;?x?x节点2： t?t?x??23??h(tf?t1)?2h(tf?t3)?02?x2节点3：。
?? 由此得：
t1?t2?t3?t2?2h?x2???x?h2(t?t)?0(t1?t2)?0t2?t3?(tf?t3)?f3????，，
2h?xH2???2??????
?hh?x2???1???2??????
2h??2h?xH2??t2??t1?t3???tf?????????h?x2??h?t3??t2?tf??tf?????2?????h?x2t1?t2?0.12tf30?0.022??0.06t2???20?0.012?0.12，于是有：， t2??30/20?tf?0.03tft2?1.5tf?0.03tft2?1.53tft3??＝1?30/20?0.032.532.53，代入得：
t2?1.53tf2.12t2?t1?0.12tf5.3636t?2.53t?t?1.53t?0.3036t212ff， 2.53，4.3636，
2.53?85?1.8336?25215.05?45.84t2???59.79?59.8?C4.36364.3636，
59.8?1.53?25t3??38.75?38.8?C2.53。
离散方程的建立
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性条件（?x??y)。
解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t2?2.53t1?1.8336tf，
t2?2.53tf?1.8336tf??2t?2t??t?a??2?2????y???x?
扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：
?i?1??i?iiiiii?tn?tn?tn?2t?tt?2t?t?1nn?1n?1nn?1???a??22????x?y??
所以有
??1?11?i1??ii?1i??tn?a????t?t?1?2a?????x2?y2?n?1n?1???x2?y2???tn????? ?Fo?x?Fo?y?1/2
稳定性条件
??
4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程为
试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方程式。
解：将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代替，可得：
??2t1?t1?2t??t?a???r2?r?r?r2??2??????
t1，jk?i?tkt，j???tkt，j?1?2tkt，j?tkj?11tkt，j?1?tk1，j?11ti?1，jk?2tki，j?rki?1，j?a????2?22??rr2?rr??jj?也可采用热平衡法。对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：
?。???
?r???r???c?jtk?1i，j?tki，j????tki?1，j?tki，jrj??kk?r??tki?1，j?tki，jrj???r?
ti，j?1?ti,j??r??r???r?????r??j??j????r2?r2????
r???r并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
对等式两边同除以ji，j?1i，jtk?tk
4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却，底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温度的变化，取中心角为1rad的区域来研究（如本题附图所示）。已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1），（M,1）(M,n)及（M,N）的离散方程式。在r及z方向上网格是各自均分的。
解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1）：
2kkk????r2?z?tk?11，tk1，?ttk2，1?r??21，11?t1，1??r?z?1?t1，1??????????????c??z?r???22???82??2?2???
节点（m，1）：
kkktkm?1，tkm?1，tkm，?z???z??z???z??z?t1?tm,1?1?tm，1?2?tm，1??rm??r???c??rm???????rm???????rm??r???r2??2??r2??2??z2????km，1?tkm，1;??
节点（m，n）：
?
tkm?1，n?tkm，n?tkm，n?1?tkm，n?rm?1?3rm???r????z??rm?1?3rm???r???r???z??r?3rm???r???z?th?tm?tm，n????0?T40?T4m，n????c?m?1?rm????????????rm??????????????????r22?z422424???????????????????2??2?k?1m,n?tkm，n?r。