精品文档，欢迎下载！
所以．
直线的方程为则所以
，
，点的坐标为
．
．
，
，
， ， ，
．
所以与共线， 所以，，三点共线． 综上所述，，，三点共线．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21.已知函数（1）若
.
在点在区间
处的切线方程； 内的极大值的个数． ，
．
（ⅰ）求曲线（ⅱ）求函数（2）若
在
内单调递减，求实数的取值范围．
；（ⅱ）1；（2）
．
【答案】（1）（ⅰ）【解析】 【分析】
17
精品文档，欢迎下载！
（1）（ⅰ）求出导函数，得到在区间（2）由题可知
，
与，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数
内单调性，结合极值的定义得到答案；
，其中
，分两类情况：
与
结合函数的单调性与极值即可得到实数的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为所以又因为所以曲线化简得（ⅱ）当当所以又因为所以在当变化时， 所以
在
内单调递增，在在
内单调递减，此时
有唯一极大值．
↗ 在
时，时，设
内单调递减． ，
内存在唯一的
，
的变化如下表 0 ↘ ， ，使得
．
， 在点
处的切线方程为． ，，则
单调递增，此时
无极大值．
， ，
，
， ．
综上所述，内的极大值的个数为．
，其中
．
（2） 由题可知
18
精品文档，欢迎下载！
当下面设对于所以所以当设则所以
时，．
，
，故在内单调递减；
，且
．
，
时，
，
，
．
在
上单调递减． ，
． 时，
，对
．
当所以当所以因为所以对所以所以当综上可得
在
时，在
，
时，即在时，即，使
内单调递减， ，
，，
内单调递增，不符合题意．
时，，
，
，
，所以．
内单调递增，不符合题意．
在
内不单调递减．
，
．
故的取值范围为
【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题． 22.设为正整数，各项均为正整数的数列
定义如下：
，
（1）若
，写出，，；
19
精品文档，欢迎下载！
（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；
（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．
【答案】（1），
，
；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．
【解析】 【分析】 （1）时，结合条件，注意求得，，
；
（2）根据与零的关系，判断数列
单调递增的充要条件；
（3）存在满足
. 【详解】（1）
，，
．
（2）先证“充分性”． 当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对
，均为奇数，则
，
所以，
所以数列
单调递增．
再证“必要性”． 假设存在使得为偶数，则，与数列
单调递增矛盾，
因此数列中的所有项都是奇数．
此时，即，所以为偶数．
（3）存在满足
，理由如下：
因为
，为奇数，所以
且为偶数，
．
假设为奇数时， ；为偶数时，
． 当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，． 所以若为奇数，则
；若为偶数，则．
因此对都有
．
所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．
设集合，设集合
．
因为
，所以．
令是中的最小元素，下面证
．
20
精品文档，欢迎下载！
设当当所以若所以
且时，时，
，则，且存在
． ，，且
满足
，所以
，所以
；
．
，与是中的最小元素矛盾．
，即存在
满足
．
【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．
21