运筹学(第3版) 习题答案 37
替换最优表的右端常数，得到下表。 C(j) 3 5 Basis X1 X2 X5 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 X2 0 1 0 0 X3 1 0 [-3] 0 X4 0 0.5 -1 0 X5 0 0 1 R.H.S. 4＋μ 3 －5μ C(j)-Z(j) 0 0 -3 -2.5 0 ①μ<－4时问题不可行，－4≤μ<0时最优基不变。μ＝－4时Z＝15。 ②μ>0时X5出基X3进基得到下表： C(j) 3 5 0 0 0 Basis X1 X2 X3 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 X2 0 1 0 X3 0 0 1 0 X4 -1/3 1/2 1/3 -3/2 X5 1/3 0 -1/3 -1 R.H.S. 4-2/3μ 3 5μ/3 C(j)-Z(j) 0 0 0≤μ≤6时为最优解。μ＝6时Z＝15。 ③μ>6时X1出基X4进基得到下表： C(j) 3 5 Basis X4 X2 X3 C(i) 0 5 0 X1 -3 3/2 1 X2 0 1 0 0 X3 0 0 1 0 X4 1 0 0 0 X5 -1 1/2 0 R.H.S. -12+2μ 9-μ 4+μ C(j)-Z(j) μ＝9时最优解X=(0，0，13，6，0)，Z=0；μ>9时无可行解。 综合分析如下表所示。 From To From To Leaving Range (Vector) (Vector) OBJ Value OBJ Value Slope Variable 1 0 0 27 27 3 X5 2 0 6 27 15 -2 X1 3 6 9 15 0 -5 X2 4 9 Infinity Infeasible 5 0 -4 27 15 3 X1 6 -4 -Infinity Infeasible 目标值变化如下图所示。 Entering Variable X3 X2 运筹学(第3版) 习题答案 38
2.9 有三个决策单元的输入输出矩阵
?9510??628???X＝?364?，Y＝?? 535????439??（1）建立C2R模型并求解，判断各决策单元的DEA有效性。
(2) 建立BC2模型并求解，判断各决策单元的DEA有效性。
（3）指出哪些决策单元是技术有效又规模有效、是技术有效非规模有效、既不是技术有效又非规模有效。
(4) 分别求三个决策单元的整体效率、技术效率、规模效率及规模报酬 【解】（1）m?3,n?3,s?2；ω?(?1,?2,?3)T,μ?(?1,?2)T
对第一决策单元有
X1?(9，3，4)T,Y1?(6,5)T
maxZ1P?6?1?5?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?0?9??3??4??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0TT最优解ω?(0.0894,0,0.0488),μ?(0.1667,0)，Z1P=1 对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(1,0,0,1)，Z1D=1。
DEA有效
运筹学(第3版) 习题答案 39
对第二决策单元有
maxZ2P?2?1?3?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?0?5??6??3??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0820,0,0.1475)T,μ?(0,0.2656)T，Z2P=0.7967
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(0.4426,0,0.1574,0.7967)，Z2D=0.7967
非DEA有效
对第三决策单元有
maxZ3P?8?1?5?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?4?1?9?2?0?10??4??9??1123????1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0253,0,0.0829)T,μ?(0.0933,0)T，Z3P=0.7465
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0.8295,0,0.3779,0.7465)，Z3D=0.7465。
非DEA有效
（2）第一决策单元BC2模型
maxWkP?μTYk?ck?9510??ωTXj?μTYj?ck?0,j?1,2,n?364?，Y＝?628?
?X＝?T?535???ωX?1???k??439???ω?0,μ?0??maxW1P?6?1?5?2?c1??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c1?0??5??6??3??2??3??c?0123121? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c1?0?9??3??4??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0894,0,0.0488)T,μ?(0.1667,0)Tc1?0，W1P=1
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(1,0,0,1)，W1D=1。 技术有效
第二决策单元BC2模型
运筹学(第3版) 习题答案 40
maxW2P?2?1?3?2?c2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c2?0???5?1?6?2?3?3?2?1?3?2?c2?0 ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c2?0?5??6??3??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0,c1无限制最优解ω?(0.0962,0,0.1731)T,μ?(0，0.3115)Tc2?0，W2P=0.9346
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0.5192,0,0.0808,0.9346)，W2D=0.9346 非技术有效
第三决策单元BC2模型
maxW3P?8?1?5?2?c3??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c3?0???5?1?6?2?3?3?2?1?3?2?c3?0 ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c3?0?10??4??9??1123????1,?2,?3,?1,?2?0,c3无限制最优解ω?(0,0,0.1111)T,μ?(0.2778，0)Tc3?1.2222，W3P=1
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0,0,1,1)，W3D=1 技术有效
（3）第一决策单元DEA有效，从而既技术有效又规模有效；
第二决策单元非DEA有效，由BC2模型知既不是技术有效又非规模有效； 第三决策单元非DEA有效，由BC2模型知是技术有效非规模有效； （4）由定义及式（2－12）、（2－13）得到下表结果。
Wkp ck 决策单元k Zkp 整体效率 技术效率 规模效率 规模报酬
DMU1 1 1 0 1 1 1 1 DMU2 0.7967 0.9346 0 0.7967 0.9346 0.8524 1 DMU3 0.7465 1 1.2222 0.7465 1 0.7465 0.45
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