??y＝kx＋2，
(2)联立?得x2＋(k－2)x－1＝0. 2
??y＝－x＋2x＋3
∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.
∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2.
?x1＋x2＝0，?∴?解得x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4. ?x1x2＝－1.?
∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)． (3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)． ∵L＝OB＋BP＋PC＋CO，
又∵线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变， ∴要使L最小，只需BP＋CO最短．
如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′(3，3)．
作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′. 设C′P′解析式为y＝ax＋n.
??a＋n＝－4，∴? ?3a＋n＝3.?
?a＝2，解得?
15
?n＝－2.715∴y＝x－.
22
1515
当y＝0时，x＝，∴B′(，0)．
77
1566
又3－＝，故点B向左平移个单位，平移到B′.
77766
同时，点O向左平移个单位，平移到O′(－，0)，
776
即线段OB向左平移个单位时，周长L最短．
7
此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝72＋22＝53，O′B′＝OB＝3，CP＝2. 6615
∴当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为53＋2＋3.
777
7
类型3 探究特殊三角形的存在性问题
6．如图，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.
(1)求m的值；
(2)求抛物线E2的函数解析式；
(3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线E1经过点A(1，m)，∴m＝12＝1.
(2)∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为y＝ax2(a≠0)， 又∵点B(2，2)在抛物线E2上， 1
∴2＝a×22.解得a＝.
2
1
∴抛物线E2的函数解析式为y＝x2.
2
(3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形．
①当点B为直角顶点时，过点B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2. 将x＝2代入y＝x2，得y＝4. ∴点Q1(2，4)；
②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2＋Q2B2＝B′B2，过点Q2作Q2G⊥BB′于点G.
设点Q2的坐标为(t，t2)(t＞0)，则有(t＋2)2＋(t2－2)2＋(2－t)2＋(t2－2)2＝42，整理得t4－3t2＝0.
∵t＞0，∴t2－3＝0，解得t1＝3，t2＝－3(舍去)． ∴点Q2(3，3)．
综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(3，3)．
7．(2016·雅安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x2－2x－8＝0的两个根． (1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)解方程x－2x－8＝0，得x1＝4，x2＝－2. ∴A(4，0)，B(－2，0)． 设抛物线解析式为
2
y＝a(x－4)(x＋2)． 将C(0，4)代入， 1
解得a＝－. 2
1
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.
2
(2)由Q(x，0)，可得BQ＝x＋2，AQ＝4－x， 过点E作EH⊥AB于点H. ∴EH∥CO.∴
EHBE＝. COBC
BEBQEHBQ
又∵QE∥AC，∴＝.∴＝. BCBACOBA∴
EHx＋22＝，即EH＝(x＋2)． 463
112∵S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝(x＋2)·4－(x＋2)·(x＋2)，
223
1281
∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋3(－2＜x＜4)．
3333∴△CQE的面积的最大值为3.
(3)存在点F使得△OMF是等腰三角形． 设AC的解析式为y＝kx＋b.
∵直线AC过点A(4，0)和C(0，4)，
???4k＋b＝0，?k＝－1，∴?解得? ??b＝4.b＝4.??
∴直线AC的解析式为y＝－x＋4. ∵点F在AC上，设F(x，－x＋4)， ∴OF＝x2＋（－x＋4）2，
MF＝（x－2）2＋（－x＋4）2，OM＝2.
若△OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：
①如图1，当OF＝FM时，F的横坐标应为1，∴F(1，3)； ②当OM＝OF＝2时，x2＋（－x＋4）2＝2， 化简得x2－4x＋6＝0.
∵Δ＝－8＜0∴这种情况不存在；
③如图2，当OM＝MF时，（x－2）2＋（－x＋4）2＝4， 化简得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4(舍去)． ∴F(2，2)．
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)．
8．(2016·凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB＝1.
(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；
(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)． 设抛物线的解析式是y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得
?c＝0，?
?4a＋2b＋c＝0， ??a＋b＋c＝2.?a＝－2，
?
解得?b＝4，
??c＝0.
∴抛物线的解析式是y＝－2x2＋4x.
(2)当△OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或－2. 当－2x2＋4x＝2时，解得x＝1， ∴点P的坐标是(1，2)；
当－2x2＋4x＝－2时，解得x＝1±2，
此时点P的坐标是(1＋2，－2)或(1－2，－2)．
综上，点P的坐标为(1，2)，(1＋2，－2)或(1－2，－2)． (3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2.
则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上； 当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；
131313
当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF＝，若点Q存在，则Q的坐标是(，)．将Q(，)代入抛物线解析
222222式成立．