专项(十二) 二次函数与几何图形的综合题 类型1 探究图形面积的数量关系及最值问题
1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．
解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx.得
??4a＋2b＝4，? ?36a＋6b＝0.?
1??a＝－2，解得?
??b＝3.
(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F. 11S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
2211
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
22111
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
222
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)． ∵S＝－(x－4)2＋16.
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
31
2．(2016·雅安中学一诊)如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C
221
两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.
2
(1)求抛物线解析式；
(2)求证：△ABC为直角三角形；
(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．
1
解：(1)∵直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，
2∴B(4，0)，C(0，－2)． 3
∵y＝ax2－x＋c经过点B，C，
2
???a＝2，?16a－6＋c＝0，
?∴解得? ?c＝－2.??
?c＝－2.
13
∴y＝x2－x－2.
22
13
(2)令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
22
∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.
∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b. ∵将B(4，0)，C(0，－2)代入，得
1
???k＝2，?b＝－2，
?解得? ?4k＋b＝0.??
?b＝－2.
1
∴直线BC的解析式为y＝x－2.
2
113
设点D(a，a－2)，则点P(a，a2－a－2)．
222
1311
∵PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋(a－2)＝－a2＋2a，
2222∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2.
1111
∵S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.
2222∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．
∴当点P的坐标为(2，－3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.
3．(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.
1
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得
???－1－b＋c＝0，?b＝2，?解得? ???－9＋3b＋c＝0.?c＝3.
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB. 令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)． S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC
111
＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3 22239＝－t2＋t. 223
∵－＜0，
2
331527
∴当t＝－＝时，即点D坐标为(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.
32248
2×（－）
2(3)存在．
∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一， ∵直线BC解析式为为y＝－x＋3， ∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.
??x＝2，?y＝－x＋5，
?由?解得∴Q1(2，3)． 2
?y＝－x＋2x＋3，??y＝3.
9
2
∵直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3， ∴M(1，2)．
设PM与x轴交于点E，∵PM＝EM＝2，
∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.
从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．
?y＝－x＋1，联立? 2
y＝－x＋2x＋3，?
3＋173－17?x＝，?x＝，??22解得? ?1＋171－17
??y＝－2，??y＝－2.1
2
1
2
3＋171＋173－171－17∴Q2(，－)，Q3(，－)．
2222
3＋171＋173－171－17
∴满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，－)或(，－)．
2222
类型2 探究线段的数量关系及最值问题
12
4．(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y＝x2＋(－1)x－2(a＞0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，
aa且点A在点B的左侧．
(1)若抛物线过点D(2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．
解：(1)∵抛物线过点D(2，－2)， 12
∴×4＋(－1)×2－2＝－2， aa解得a＝4.
(2)∵点A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．
∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点． 11
∵a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.
4211
令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
42令x＝0，则y＝－2.
∴A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)，对称轴为直线x＝1. 1
∴直线BC解析式为y＝x－2.
23
∵当x＝1时，y＝－，
23
∴E(1，－)．
2
5．(2015·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.
(1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值． b 解：(1)由题意，得－＝1， 2×（－1） ∴b＝2. ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)， ∴－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1. ∴(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c. ∴m＝1，c＝3. ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3. ??y＝kx＋2， (2)联立?得x2＋(k－2)x－1＝0. 2 ??y＝－x＋2x＋3 ∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4. ∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2. ?x1＋x2＝0，?∴?解得x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4. ?x1x2＝－1.? ∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)． (3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)． ∵L＝OB＋BP＋PC＋CO， 又∵线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变， ∴要使L最小，只需BP＋CO最短． 如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′(3，3)． 作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′. 设C′P′解析式为y＝ax＋n. ??a＋n＝－4，∴? ?3a＋n＝3.? ?a＝2，解得? 15 ?n＝－2.715∴y＝x－. 22 1515 当y＝0时，x＝，∴B′(，0)． 77 1566 又3－＝，故点B向左平移个单位，平移到B′. 77766 同时，点O向左平移个单位，平移到O′(－，0)， 776 即线段OB向左平移个单位时，周长L最短． 7 此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝72＋22＝53，O′B′＝OB＝3，CP＝2. 6615 ∴当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为53＋2＋3. 777 7