有限元法基础及应用
习题集
一、填空
1. 有限元法是求解连续场力学和物理问题的一种 方法。用有限元法求解连续体或结构的力
学问题的三个主要步骤是：① ；② ；③ 。 2. 离散化就是把连续体或结构分割成若干个在 处相互连接，尺寸有限的 结合体来
代替原来的连续结构。
3. 单元分析阶段导出的单元刚度方程建立了 和 之间的关系。单元刚度方
程的核心是 矩阵。该矩阵具有 性和 性，且主对角元素 。 4. 建立实体单元（一维杆单元、三节点三角形平面单元等）的刚度方程时，须应用 作为
平衡条件。
5. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。
?u?e6. 单元位移模式????N???? 中?N?称为 矩阵。该方程的含义
?v?是 。
7. 单元某节点i的形函数Ni在该点的值为 ，在其它节点的值均为 。一个单元所有节点
形函数之和等于 。
8. 作用在单元上的载荷须按 的原则移置到节点上，因
为 。 9. 单
元
刚
度
矩
阵
奇
异
性
的
力
学
意
义
是： 。
10. 结构有限元平衡方程?K??????Q?建立了有限元离散结构中节点的 和 之间的关
系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的 和 之间的平衡。 11. 整体刚度矩阵具有如下性质：① ② ③ ④ 。 12. 对一定的有限元网格，整体刚度矩阵的半带宽与 有关。半带宽越小，求解时占用计算机
资源 。
13. 为保证有限元解的收敛性，单元位移模式应满足 和 。
14. 建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时，需要采用与单元位移模式中相同的用局
部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换，这种变换称为 ，采用等参变换的单元称为 。
15. 节点数越多的单元，其位移模式多项式 ，单元 的能力越强，
所以精度 。
16. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。 17. 弹性力学边界条件包括 和 。
18. 弹性体的虚位移是假想在弹性体上发生的满足 条件的微小位移场。弹性体的虚功原理可
以概括为 等于 。
19. 弹性力学物理方程反映弹性体变形时 和 之间的关系。
20. 平面应力问题的典型例子是 、平面应变问题的典型例子
是 。
21. 建立平面问题或空间问题的单元特性方程（单元分析）阶段，需要用到弹性力学的 方程和
方程。
二、简答题
1．简述弹性力学平面问题有限元法中单元特性分析的过程。 2．简述建立整体有限元平衡方程的过程。
3．平面三节点三角形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？ 4．四节点矩形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？ 5．简单三角形单元刚度矩阵元素的大小与哪些因素有关？与哪些因素无关？ 6．画出三节点三角形单元形函数的图形，并分析其在边界上的分布特点。 7．对一个给定的弹性力学问题，有那些途径可以提高有限元法求解精度？
8．按位移求解的有限元法中：（1）应用了哪些弹性力学的基本方程？（2）应力边界条件及位移边界条
件是如何反映的？（3）力的平衡条件是如何满足的？（4）变形协调条件是如何满足的？ 9．有限元的收敛条件是什么？证明三节点三角形单元满足收敛条件。
10．平面应力三角形单元和空间轴对称三角形单元分别代表物理空间中什么样的物体？ 11. 试述所学各类单元节点数、节点位移分量、单元自由度数目。 12. 位移函数应满足哪些要求？写出梁单元的位移函数。 13. 空间轴对称问题的位移分量、应变分量、应力分量有哪些？ 14. 简单（纯弯）梁单元的节点位移分量、单元自由度？
15. 平面梁单元的节点有几个自由度？其在局部坐标系下节点位移分量有哪些？ 16. 弹性力学的基本假设？弹性力学有哪些基本方程和边界条件？
17. 一维杆单元、三节点三角形平面单元、三节点三角形空间轴对称单元的形函数矩阵、应变矩阵、单
元刚度矩阵的行数和列数分别是多少？
18．对于平面问题简单三角形单元，为什么单元刚度矩阵是常数矩阵？
19．什么是等参变换？等参变换的基本条件是什么？哪些情况使等参变换不成立？划分等参单元时应注
意哪些问题？
20．应用等参单元时，为什么要采用高斯积分？高斯积分的数目如何确定？ 21．弹性力学平面问题求解时应用的三角形单元是等参单元吗？为什么？ 21．什么是等参单元，等参单元的主要优点是什么？
22．写出平面四节点等参元的坐标变换的雅克比（Jacobian）矩阵。
23．非节点载荷为什么要等效变换成节点载荷，如何变换？作变换时应注意什么问题？ 24．结构原始平衡方程式为什么要做约束处理？
2
25．试述平面应力问题和平面应变问题的几何、受力和变形特征。 26．平面应力问题和平面应变问题有什么区别？
27．举例说明，在什么样情况下可以将工程问题转化成平面应力问题？在什么情况下可以将工程问题转
化为平面应变问题？
28．为什么说平面三节点三角形单元为常应力单元，如何解决由于这种单元的特点所引起的计算精度不
高的问题？
29．用示意图画出空间结构常用的单元类型。 30．简单四面体单元为什么说是一种常应变单元？ 31．轴对称结构有什么特点？轴对称结构如何简化处理？ 三、计算与分析
1．如图所示，根据弹簧单元的刚度方程推导出系统的平衡方程。
2．根据弹簧单元的刚度方程，导出下列系统的整体刚度平衡方程。并代入边界条件，得出节点位移求解
方
程
，
并
得
出
节
点
3
的
位
移
和
节
点
1
的
支
反
力
。
3. 对图示弹簧系统，k1=300N/mm，k2=k3=200N/mm，k4=200N/mm，F1=600N，F2=400N。 求：（1）其总刚度矩阵；
（2）节点1、2、3的位移； （3）节点4、5的反力； （4）弹簧1、2、3、4中的力。
3
4．如下图所示，5个弹簧连接在一起，各弹簧的刚度系数如图上标出。
F1k22k33k42k5k6
求：（1）系统刚度矩阵；
（2）节点3处作用F力后，各节点的位移???，固定节点1、6处的反作用力。
5．如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（1）与（2）组成，弹性模量E。在节点1、
2、3上作用有轴向集中载荷Q1、Q2、Q3而平衡。试求解下列各问题： （1） 建立结构的有限元平衡方程；
（2） 如果节点1被固定（u1=0），Q2=P，Q3=0，通过建立的平衡方程求各节点位移、节点1约束反
力。
（3） 如果Q2=0，Q3=P，其他条件不变，试根据问题（2）的解答和有关力学概念直接给出节点2、
3的位移。
6. 图示杆-弹簧系统，材料弹性模量为E。试列出其有限元平衡方程，并进行约束处理。
4
7. 如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（1）与（2）组成，弹性模量E，节点1，3固定，节点2受集中力P。试求解下列各问题： （4） 建立结构的有限元平衡方程。 （5） 求解节点2的位移和各杆的应力。
（6） 如果P=0，且所有杆上受沿x方向作用的均匀线分布力q，求未知节点位移和固定端反力。
8.平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：
（1）节点2位移； （2）每根杆应力。
9．如图所示三杆钢桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力Fx2，Fy2，所有杆件材料相同，弹性
模量为E，截面积均为A，求各杆受力。
y332LFx245?1
x2Fy2
15
10．如图所示2杆结构，每根杆的弹性模量均为E，横截面积均为A。建立坐标系和节点系统如图所示，
在节点1处作用x方向的力F，求u1，v1。
2y2L31L1x11．证明杆单元变换矩阵?T???T?。
T?1
12．如图所示刚架由两根等截面工字型钢构成，两端固支，系统所受载荷如图所示。梁截面积A=0.006m2，
截面惯性距I?6.87?10?5m4，弹性模量E?2.1?108kN/m2，每根梁长L?5m。 求：每根梁所示内力。
Q3?2kNM?0.05kN?mq?2.5kN/m5m13．试推导梁单元的坐标变换矩阵
???????0T?????0?0??02.5m 0??0?0?? 0?0??1?Q1?4kN??0000001000000000???0??0其中，??cos?，??sin?。
14．如图所示刚架结构，所有梁材料和截面尺寸相同，截面积为A，惯性距为I，材料弹性模量为E。试
6
2.5mQ2?1kN写出每根梁单元的刚度矩阵和结构的总体刚度矩阵。
2y2331L1x泊松比??0，材料弹性模量为E，求它的应力分布。
15．有一正方形板，沿对角承受压力作用，板厚t?1m，载荷P?20kN，如图所示。为简化计算，设
P?20kNP?20kN
16．试证明三角形单元形状函数
Ni?x,y??12??ai?bix?ciy?i?1,2,3
满足下列性质：Ni?x,y????0,i?j?1,i?j
17．如下图（a）所示悬臂深梁，自由端有垂向均布载荷F，梁的厚度为t，设材料弹性模量为E，泊松
比??13，若采用（b）所示的简单网格系统，求各节点的位移。
7
2m2m4F/231m12m12F/2(b)
(a)18．正方形板如图所示，边长为a，厚度为t，弹性模量为E，泊松比0.15，节点1作用集中力F，节点
2、3、4被固定，若采用图示坐标系统和单元节点结构，求各节点位移和应力。
y1F42123x
19．如图所示，用近似法取r?r,z?z计算两个轴对称单元a、b的单元刚度矩阵Ke，设材料的弹性
模量为E，泊松比0.15。
ZjLjLamiLbmi
L20．试写出如图所示5节点等参元形状函数，并求出其雅克比矩阵的表达式和单元刚度矩阵。
?435?2
121．图示悬臂梁为平面应力问题，试写出边界条件。
8
yqBOxCD
22．如图平面问题，以单元④为例，通过实算，讨论单元点号按顺序轮换时单元刚度矩阵K④ 及其变
化规律。
y12124363754aa性模量及截面积。用有限元法求： （1）节点位移； （2）单元内力； （3）支座反力。
ax
23．如图所示平面三角形桁架，终点坐标为：1（0,0），2（L/2，L/2），3（2L，0），E、A为弹
yP213x
24．平面桁架如图所示，E?2?10kg/cm，A?1.0cm。求节点位移和单元内力，并利用节点1的
9
622平衡检验计算结果。
y2P?100kg30cm340cm1x
25．下图中结构分别采用（b）、（c）两种编节点号方式，分别求其刚度矩阵带宽。
97531(a)38241(b)4566534261(c)2
26．教材P20练习题1-9中，求下列2种情况下节点位移、节点1约束反力。
（1）节点1位移为0，Q2= Q3=P
（2）节点1位移为0，Q2= Q3=0，整个杆受到沿轴线的均匀线分布力q，方向向右。
27．根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第四列元素。
?s1??a11????s2??a21????a31?s3???s??4??a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14??u1????a24?u2???? ?a34?u3???a44???u4?28．对图示有限元模型，用符号“△”标出总刚度矩阵中非零子块的分布，并计算半带宽。
10
29．对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求：
（1）划分单元，单元数目适当； （2）给出节点编号方案； （3）标出节点载荷和位移约束 。
30. 对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求：
（1）划分单元，单元数目适当； （2）给出节点编号方案； （3）标出节点载荷和位移约束。
31．根据单元刚度矩阵元素的物理意义求弹簧单元和杆单元的刚度矩阵。
32. 通过对节点位移插值建立三节点三角形单元的位移模式和形函数。
33. 用虚功原理推导出三节点三角形单元刚度方程。
34. 对三节点三角形单元证明其形函数满足：Nl?Nm?Nn?1
11
35．图示三角形单元：①按公式求形函数和形函数矩阵；②求该单元的应变矩阵。
yjbmiax
36．计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为h。
yjamaiq02q0x
37．如图所示，两个形状相似的三节点三角形平面单元，对应边长比为2:1，材料、厚度相同，方位相
同。约束左边上2个节点x，y方向位移，自由节点N1 ，N2均受铅直向下集中力P。两个模型分别用有限元软件计算后，发现计算结果有下列关系：1）节点N1 和节点N2的位移相等；2）单元①的应力是单元②应力的二分之一。试对上述现象进行解释。
单单 单单单 单yN1N2PP
z
x38. 计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为h。
12
yjamaq0ix
39. 将图示水坝作为平面应变问题，试用图形表示出你的有限元模型，要求： （1） 用三角形单元离散，建议单元边长1m 左右或小于1m （2） 给出节点编号方案
（3） 写出节点载荷和位移边界条件
40．函数u(x)如图所示，求其在u1和u2之间有效的一维线性插值多项式。
u?u(x)uu1x1u2xx2
41．如图所示正方形桁架，周边长a，桁架由五条杆单元组成，弹性模量为E，截面积为A，求P载荷作
13
用下2、3点的位移。
ya13a4xa2Pa
42．如图所示二节点杆单元ij，沿杆轴线分别作用一均布载荷q0（如图（a））和分布载荷（如图（b））。
分别求两种情况下的等效节点载荷。
xjxq0jq0iLLi(a)(b)
43．采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所有节点的位移、三个杆单元的应力、支座反力。相关的
材料参量和尺寸为错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。。
F1??100NE1,A1E2,A2E3,A31223F3?50N34x
l1移、单元应力以及支反力。
l2l344．如图所示的结构，各杆的弹性模量和横截面积都为错误！未找到引用源。,试求解该结构的节点位
14
y4300mm4325000N311400mm2220000Nx
45．如图所示的等剖面梁，弯曲刚度为EI,承受分布载荷错误！未找到引用源。q(x)作用，求：
（1）各梁的等效结构载荷； （2）节点位移； （3）单元的节点力。
q1L2L3q0L
46．一悬臂梁的一端由弹簧支持，弹簧的刚度系数为k,在载荷P作用下，求端点2的位移及转角。
1EIKLP23
47．如图所示桁架结构，各元件的E，A，L均相同，1-4杆做短了错误！未找到引用源。。试求
（1）节点位移； （2）1-4杆应力。
15
31245?4
48．利用对称条件，处理以下结构（要求画出简化图以及给出其边界条件）。
PPPP3
49．如图所示杆结构，杆剖面面积为A,材料的弹性模量都为E.求2点作用载荷为P时节点的位移。
L,A160?L/22P
50．如图所示的自由体结构，在平衡力系作用下，用有限元分析问题时边界条件如何处理？
16
3PP3PPLL2P
51．如图所示杆板结构，按下列情况划分，选取单元：
（1）结构由10个两节点杆单元和8个三节点三角形板单元集合而成； （2）结构由5个节点杆单元和2个六节点三角形板单元集合而成 试分析：两种分单元情况下，采用相同的节点编号， （1）总刚度矩阵大小是否相同? （2）半带宽是否一样？ （3）杆板单元间位是否协调？ （4）单元中内力特点是否一样？
52．试求如图所示结构的节点位移。已知：各杆元E,A,L均相同。
4345?2
153．试求如图所示梁结构的节点位移。
17
1EJ2EJ3LLP后的总刚度矩阵。重新编节点号是否能减小带宽？
?3?1???1??1131111311??1? 1??3?
54．如果对图所示的有限元网格给出如下的单元刚度矩阵，试求引入边界条件错误！未找到引用源。以
?K?e151413121110987654321
55．正方形平板，厚度为t,边长为a,弹性模量E,材料泊松比错误！未找到引用源。，载荷P,按图所示
分元，求1，3点的位移。
y3aa4aa2x1P56．推导三节点平板单元在局部坐标系xOy中的单元刚度矩阵。
57．三节点三角形单元ijm的位移函数能否选为
18
（1）
u(x,y)?a1?a2x?a3yv(x,y)?a4?a5x?a6y22 ； （2）
u(x,y)?a1x?a2xy?a3yv(x,y)?a4x?a5xy?a6y2222。
58．求三节点和六节点三角形单元在自重作用下的等效节点载荷。（设比重为?，厚度为t，单元面积?）。
59．证明常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将不产生应力。
60．以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。 61．三角形单元ijm的jm边作用有如图所示线性分布载荷，求节点载荷向量。
m(5,6)q1q2j(6,3)yi(2,2)o62．试写出图示平面梁结构的单元节点位移列阵。
x
563．图示桁架，各杆的拉压刚度EA?10kN，斜杆在制作时比设计尺寸长了??0.01m，求由此产生
的内力。
CDAB3m
64．图示一个平面应力状态的直角三角形单元，设E为常量，??（1）形函数矩阵N； （2）应力矩阵S； （3）单元刚度矩阵k。
19
e4m16，t?1，试求：
jamai
20