初一数学竞赛系列讲座(5)
应用题（二）
一、知识要点
1、工程类问题
工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率?工作时间=工作总量
解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题
溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。
溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。
溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是：
浓度?溶质量?100%
溶液量二、习题精练：
1）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题)
2 ）甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)
3）牧场上的草长得一样地密，一样地快。70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天。如果要吃96天，问牛数该是多少？
4 、某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只。后来改进技术，每人一天又多做27个零件。这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？
5、某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？ 分析：配比前后碘的含量相同。
6、在浓度为x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x
7、从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？
8）甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数。
初一数学竞赛系列讲座(4)
应用题（一）习题参考答案：
1、分析 本题用方程来解简单自然。
解：设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组
y?x? (1)?2035?9 ?xy1???7 (2)2?3520解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比
11较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也
2035恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得
111 (x+y)( +)=9+7
2035219?72?210 (3) 所以 x+y=11?2035111(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-7
2035219?72?70 (4) 所以 x-y=11?2035210?70?140 由(3)、(4)得 x=
2所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
2、分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在
2小宏前面ax米处，它经过4分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。
7解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得
?ax?6(a?b)? ? 2ax?4?(a?b)?7? 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5
评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及
问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。
3、解：如图，设小镇为D，傍晚
汽车在E 休息 A D C E B
1 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，
21EB=CE
21 两式相加得：AD+ EB=DE
21因为DE=400千米，所以AD+ EB=?400=200千米，
2从而A、B两市相距400+200=600千米 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。
4、解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v)?1+v?1= vi ?1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为：ti?Siv?1?i?1(小时)
?vi?v??vvi由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。 评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。
5、解：设甲的运动速度是V甲， 乙的运动速度是V乙，丙的运动速度是V丙．设环形
L轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有V甲－V乙＝ ①
50L甲比丙多运动一圈用时40秒，故有V甲－V丙＝ ②
40LLL②－①可得到V乙－V丙＝－＝ ③
4050200V甲－V乙＝4 ④
V乙－V丙V甲－V丙＝5 ⑤
V乙－V丙甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
乙、丙之间距离＝（V甲－V丙）×30－（ V甲－V乙）×10； 乙追上丙所用时间＝
V乙－V丙＝
V甲－V丙V乙－V丙?30－V甲－V乙V乙－V丙?10＝150－40＝110秒．所以第110秒时，乙追上丙．
评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和?时间；
追及问题的关系式是：追及路程=速度差?时间。
6、解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7
由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2
∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：这个三位数是926
评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。
7、解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得
999?xx?6(999?x?) x?10001000解这个方程得：x=857, ∴999-x=142 答：大数为857，小数为142。
8、解：依题意得：BA-AB=A0B-BA，即AB+A0B=2BA，
所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B 因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6
故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。
评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。