意味着当元素u?A,u?B且u?C时，u?(A?B)?(B?C)?，而在其他情形下，元素u?(A?B)?(B?C)?。而集合A?B?所标记的列中，第五和第六行均为1，这意味着u?A,u?B且u?C时，u?A?B?，当u?A,u?B，且u?C时，也有
u?A?B?。所以当元素u?(A?B)?(B?C)?时也有u?A?B?，反之不然，因此(A?B)?(B?C)??A?B?成立。
20、A1,A2,L,Ar为U的子集，A1,A2,L,Ar至多能产生多少不同的子集？ 答：构造由A1,A2,L,Ar所产生的集合的成员表，显然该成员表由2r个行所组成。在该成员表中不同的列可由2r为的二进制数000L0~1111L1分别表示，而不同的列所标记的集合 不相同的，因此由A1,A2,L,Ar至多可以产生2个不同的集合。
21、证明分配律、等幂律和吸收律9? 1分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
证明：对?a?A?(B?C)，则有a?A且a?B?C，即有a?A，且a?B或a?C，也即有a?A?B或a?A?C，即a?(A?B)?(A?C)，因此左边?右边。 对?a?(A?B)?(A?C)，则a?A?B或a?A?C，即a?A且a?B，或a?A且a?C，即有a?A或a?B?C，因此a?A?(B?C)，因此右边?左边。
2 吸收律A?(A?B)?A
证明：A?(A?B)?A显然成立，对?a?A，则显然有a?A?B，因此有
a?A?(A?B)，因此有A?A?(A?B)成立。
2r
22、设A,B,C是任意集合，运用集合运算定律证明： (1) B?((A??B)?A)??U
9
左边?B?(A??B)??A?证明：?B?(A?B?)?A??B?((A??A)?(A??B))
?B?(U?(A??B))?B?(A??B)?U?右边(2) (A?B)?(B?C)?(C?A)?(A?B)?(B?C)?(C?A)
左边?(B?(A?C))?(C?A)证明：
?((C?A)?B)?((C?A)?(A?C))?(C?B)?(B?A)?((A?C?A)?(A?C?C)?(C?B)?(B?A)?(A?C)?(A?C)?右边
(3) (A?B)?(B?C)?(A?C)?(A?B)?(A??B?C)?(A?B??C)
右边?(B?((A??C)?A))?(A?B??C)?(B?(A??A)?(A?C))?(A?B??C)?(B?(A?C))?(A?B??C)?(B?A)?(B?C)?(A?B??C)?(B?C)?(A?((B??C)?B))?(B?C)?(A?(B??B)?(B?C))?(B?C)?(A?(B?C))?(B?C)?(A?B)?(A?C) 由上题的证明可知左边=右边，得证。
23、用得摩根定律证明(A?B?)?(A??(B?C?))补集是
(A??B)?(A?B?)?(A?C)。
证明：
((A?B?)?(A??(B?C?)))??((A?B?)?)?(A??(B?C?))?证明：?(A??B)?(A?(B?C?)?)
?(A??B)?(A?(B??C))?(A??B)?(A?B?)?(A?C)
24、设Ai为某些实数的集合，定义为
A0?{a|a?1} 1Ai?{a|a?1?}(i?1,2,L)i试证明：UAi?A0
i?1?10
1证明：设a?UAi，则比存在整数k，使得a?Ak，因此有a?1?，于是a?1,
ki?1?因此a?A0。另一方面，设a?A0，则有a?1，若a?0，则有a?A1，因此a?UAi。
i?1?若0?a?1，则令b?1?a，a?1?b?1?11?1?，令k????1，其中表示的整数1b?b?b?1111部分，则有因此a?1?即a?Ak，于是a?UAi，因此得证。 ?，?1?，
11kki?1bb25、设{A1,A2,L,Ar}是集合A的一个分划，试证明A1?B,A2?B,L,Ar?B中所有非空集合构成A?B的一个分划。
证明：因为{A1,A2,L,Ar}是集合A的一个分划，因此由分划的定义，可得UAi?A，
i?1r且Ai?Aj??,i?j，而(Ai?B)?(Aj?B)??,i?j，且
U(A?B)?(UA)?B(分配律)?A?B，因此A?B,Aiirr12?B,L,Ar?B中所有非
i?1i?1空集合构成A?B的一个分划。
26、n个元素的集合，有多少中不同的方法可以分划成两块？
12答：当n奇数时有Cn?Cn?L?Cn2种不同的方法，当n为偶数时有12n/2Cn?Cn?L?Cn种不同的方法。
n?1?1
11
第2章 关系
1、若A?{0,1},B?{1,2}，确定集合：
(1)A?{1}?B (2)A2?B (3) (B?A)2 解：A?{1}?B?{(0,1,1),(0,1,2),(1,1,1),(1,1,2)}
A2?B?{((0,0),1),((0,1),1),((1,0),1),((1,1),1),((0,0),2),((0,1),2),((1,0),2),((1,1),2)}
(B?A)2?{((0,1),(0,1)),((0,1),(0,2),((0,1),(1,1)),((0,1),(1,2))((0,2),(0,1)),((0,2),(0,2),((0,2),(1,1)),((0,2),(1,2))
((1,1),(0,1)),((1,1),(0,2),((1,1),(1,1)),((1,1),(1,2))
((1,2),(0,1)),((1,2),(0,2),((1,2),(1,1)),((1,2),(1,2))}
2、在通常的具有X轴和Y轴的笛卡尔坐标系中，若有
3?x?2}X?{x|x?R,?Y?{y|y?R,?2?y?0}试给出笛卡尔积X?Y的几何解释
解：表示横坐标x的范围在?3?x?2，纵坐标y的范围在?2?y?0的二维点集所构成的集合。
3、设A，B，C和D是任意的集合，证明 (1) A?(B?C)?(A?B)?(A?C) (2) A?(B?C)?(A?B)?(A?C) (3) (A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D) 证明：(3) 首先，因为A?B?A，C?D?C，所以 (A?B)?(C?D)?A?C
类似地，(A?B)?(C?D)?B?D，所以有： (A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D)
反之，若(x,y)?(A?C)?(B?D)，则(x,y)?(A?C)，(x,y)?(B?D) 则x?A,y?C，且x?B,y?D，即x?A?B，y?C?D 所以，(x,y)?(A?B)?(C?D) 所以(A?C)?(B?D)?(A?B)?(C?D) 所以(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D)
4、对下列每种情形，列出由A到B的关系?的元素，确定?的定义域和值域，构造?的关系矩阵：
(1) A?{0,1,2},B?{0,2,4},??{(a,b)|ab?A?B} 解：A?B?{0,2}，??{(0,0),(0,2),(0,4),(1,0),(2,0),(1,2)}
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