20.如图1是一张等腰直角三角形纸,AC=BC=40cm,将斜边上的高CD四等分,然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出3张长方形纸条的长度;
(2)若用这些纸条为一幅正方形美术品镶边(纸条不重叠),如图2,正方形美术品的面积最大不能超过多少cm2.
【考点】相似三角形的应用;二次函数的应用.
【分析】(1)利用相似三角形的性质求出每个纸条的长;
(2)将(1)中相关数据相加,易得纸片的宽度,从而计算出正方形的边长,从而计算面积即可. 【解答】解:(1)如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=40cm,CD是斜边AB上的高, ∴AB=40
cm,CD是斜边上的中线,
cm,
=5
(cm),
∴CD=AB=20
于是纸条的宽度为:∵
=,
cm. cm,
∴EF=AB=10同理,GH=20IJ=30
cm,
∴3张长方形纸条的长度分别为:10
cm,20cn,30cm;
(2)由(1)知,3张长方形纸条的总长度为60如图2,图画的正方形的边长为:∴面积为(10
)2=200(cm2)
﹣5
=10
cm. (cm),
答:如图(b) 正方形美术作品的面积最大不能超过200cm2.
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【点评】此题考查了相似三角形的应用,不仅要计算出纸条的长度,还要计算出宽度,要仔细观察图形,寻找隐含条件.
21.在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点;一次函数y=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y=
的图象交于A(a,2a﹣1)、B(3a,a).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)求△ABO的面积.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据反比例函数系数k=xy得出a(2a﹣1)=3a?a,解得a=﹣1,求得A、B的坐标,即可确定出反比例函数解析式;将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;
(2)设y=﹣x﹣4与x轴交点为C,对于一次函数解析式,令x=0求出y的值,确定出C坐标,得到OC的长,然后根据S△ABO=S△AOC﹣S△BOC即可求得. 【解答】解:(1)∵A(a,2a﹣1)、B(3a,a)在反比例函数∴a(2a﹣1)=3a?a, ∵m≠0, ∴a=﹣1, ∴m=3,
∴A(﹣1,﹣3)、B(﹣3,﹣1)
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图象G上,
∴所求反比例函数解析式为:;
将A(﹣1,﹣3)、B(﹣3,﹣1)代入y=kx+b(k≠0), ∴所求直线解析式为:y=﹣x﹣4; (2)设y=﹣x﹣4与x轴交点为C 令y=0, ∴C(﹣4,0)
∴S△ABO=S△AOC﹣S△BOC=
=
=4.
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,坐标与图形性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
22.如图,矩形ABCD中,BC=2
,∠CAB=30°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF=2,
连结AF、CE.点P是线段AE上的点,过点P作PH∥CE交AC于点H,设AP=x. (1)请判断四边形AECF的形状并证明; (2)用含x的代数式表示AH的长;
(3)请连结HE,则当x为何值时AH=HE成立?
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)根据直角三角形的性质和勾股定理求出CA、AB的长,根据菱形的判定定理证明即可;
(2)根据相似三角形的判定定理证明△APH∽△AEC,根据相似三角形的性质得到出AH;
(3)作HG⊥AB于G,根据锐角三角函数的定义求出AG、HG,根据勾股定理表示出HE,根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:(1)四边形AECF是菱形. ∵四边形ABCD为矩形, ∴∠B=90°,又BC=2
=,计算求
,∠CAB=30°,
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∴CA=2BC=4∵BE=2,
,AB=6,
∴AE=AB﹣BE=4,CE=∵CF∥AE,CF=AE=2,
=4,
∴四边形AECF是平行四边形,又EA=EC=4, ∴四边形AECF是菱形; (2)∵PH∥CE, ∴△APH∽△AEC, ∴
=
,即
x;
=,
解得,AH=
(3)作HG⊥AB于G, ∵AH=∴HG=
x,∠CAB=30°, x,AG=x,
∴GE=AE﹣AG=4﹣x, 由勾股定理得,HE=当AH=HE时,解得,x=,
则当x=时,AH=HE成立.
x=
=
,
=
,
【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定,灵活运用相关的性质和定理、根据题意正确作出辅助线是解题的关键,注意方程思想在解题中的应用.
23.如图1,点O为正方形ABCD的中心.
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