基于UG二次开发的直齿、斜齿圆柱齿轮及锥齿轮的参数化建模
第四章 齿轮常用的齿形曲线——渐开线
从理论上讲,只要给出一条齿廓曲线,就可以根据齿廓啮合的基本定律(用图
解法或解析法)求出与其共轭的另一条齿廓曲线。因而，作共轭齿廓的曲线是很多的。生产实际中。结合设计、制造、安装和使用方面的诸多要求(如强度、效率、磨损、寿命、互换性)，通常选用的定传动比齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧。由于渐开线齿廓具有制造容易、便于安装、互换性好等多方面优点,所以目前大部分齿轮采用渐开线齿廓。
4．1渐开线的形成原理
如下图所示，任一直线BK沿基圆的圆周作纯滚动时，直线上任意一点K
的轨迹AK称为该圆的渐开线。其中， rb为为基圆半径，θk是渐开线上K点的展角 ，rK是渐开线上K点的向径，αK为渐开线K点的压力角。
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学士学位论文
图4-1，渐开线形成图
渐开线的性质为：
(1)发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长,即直线BK与弧
AB的长度相等；
(2)当发生线沿基圆作纯滚动时,切点B为其速度瞬心, 因此KB必垂直于渐开线上K点的切线,即发生线为渐开线在K点的法线,渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；
(3)发生线与基圆的切点B也是渐开线在K点处的曲率中心,线段BK是相应的曲率半径。渐开线离基圆愈远(rK愈大),曲率半径愈大,渐开线越平直。K点在基圆上起点处的曲率半径为零。
(4)渐开线的形状取决于基圆的大小,即由不同大小的基圆所形成的渐开线,在相等展角处的曲率半径的大小随基圆半径rb的增大而增大，当基圆半径为无穷大时，其渐开线AK将成为垂直于发生线NK的直线，故齿条的渐开线齿廓曲线为直线。
(5)基圆以内无渐开线。
基于渐开线的上述性质，用渐开线作为齿廓的齿轮有以下优点： (1) 渐开线齿廓能满足定传动比传动——保证了机器运转的平稳性； (2) 渐开线齿廓之间的正压力方向不变——有利于齿廓传动的平稳性； (3) 渐开线齿廓具有传动可分性——对齿轮制造和安装十分有利。
4．2渐开线的数学模型
以上讨论了渐开线的一些性质，但在渐开线齿轮三维参数化造型的过程
中，还需
要进一步知道轮齿渐开线齿形的各点坐标值。
由图4-1，根据渐开线的性质，可得
rK?cos??K?rb
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tan??K??
rb??K??K???K??K
rb 连立上述两式即得渐开线的极坐标参数方程式：
rK?cos??K?rb
?K?inv??K??tan??K???K
在UG里画渐开线时，使用的是直角坐标系，因此，我们应把渐开线方程
转化成直角坐标系的形式。转化后公式为：
x?rb??cos(?)???sin(?)? y?rb??sin(?)???cos(?)?
其中???K??k
4．3 渐开线齿廓的绘制
使用UG画渐开线过采用表达式生成法。UG的表达式是算术或条件语句，它可以用来控制同一个零件上的不同特征间的关系。利用UG的表达式并利用渐开线方程的计算公式，建立表达式生成渐开线曲线。具体过程如下：
(1)、新建一个部件，进入建模模块，在表达式窗口中添加下列表达式： m=5； // 模数 z=19； // 齿数 a=20； // 压力角 h=1； // 齿顶高系数 c=0.25； // 顶隙系数 B=9； // 齿轮厚度 d=m*z； // 分度圆直径 db=m*z*cos(a)； // 基圆直径 da=(z+2)*m； // 齿顶圆直径 df=(z-2.5)*m； // 齿根圆直径 t=1； // 系统参数
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al=45*t； // 角变量
xt=0.5*db*cos(al)+(al*pi()/360)*db*sin(al)； // 渐开线在x方向的参数方程 yt=0.5*db*sin(al)-(al*pi()/360)*db*cos(al)； // 渐开线在y方向的参数方程 zt=0； // 渐开线在y方向的参数方程
(2)选择“插入—曲线—规律曲线”菜单或单击曲线工具栏中的“规律曲线”
按钮，出现“规律函数”对话框，选择其中的“根据方程”选择按钮并确定，如下图所示[14]。
图4-2选择规律曲线方式
(3)以t为系统参数定义x轴、y轴、z轴的参数并依据方程xt、yt、zt的值，选择原点为基圆的圆心，绘制出如下渐开线。如下图所示。
图4-3 渐开线
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