∴
∴a=或,
,∴n=1或3
当n为偶数时,有2a=2∴∴a=
,
,∴n=2
,得:,
综上所述,存在直角三角形,且a=或或.
点评:本题需利用数形结合的思想,灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题.
23.(黔东南州)某商厦试销一种成本为50元/件的商品,规定试销时的销售单价不低于成本,又不高于80元/件,试销中销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似的看作一次函数(如图).
(1)求y与x的关系式;
(2)设商厦获得的毛利润(毛利润=销售额﹣成本)为s(元),则销售单价定为多少时,该商厦获利最大,最大利润是多少?此时的销售量是多少件?
考点:一次函数的应用。 专题:压轴题。
分析:根据两点的值可求出一次函数的解析式,再利用:毛利润=销售额﹣成本,得到关于x的二次函数,利用二次函数的性质,可求出最大利润,以及相关内容. 解答:解:(1)设y=kx+b; 将(60,40),(70,30)代入得:解得:
;
,
∴y=﹣x+100;
(2)S=(﹣x+100)(x﹣50)
2
=﹣x+150x﹣5000;
∵a=﹣1,b=150,c=﹣5000, ∴当x=﹣
=75时,
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S最大值=
===625
当x=75时,y=﹣75+100=25;
所以,当销售价是75元时,最大利润是625元,此时销量为25件.
点评:利用待定系数法求函数的解析式,还用到二次函数的有关内容(求最值的问题).
24.(牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,6),点B,点C分别在x轴
2
的负半轴和正半轴上,OB,OC的长分别是方程x﹣4x+3=0的两根(OB<OC). (1)求B,C两点的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在点Q和点P(点P在直线AC上),使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若平面内有M(1,﹣2),D为线段OC上一点,且满足∠DMC=∠BAC,∠MCD=45°,求直线AD的解析式.
考点:一次函数综合题。 专题:压轴题。
分析:(1)解方程x﹣4x+3=0就可以求出x的值,即B,C的横坐标,就可以得到B,C的坐标.
(2)以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形,O、C的坐标已知,就可以写出Q的坐标. (3)过A作AH⊥x轴于H点,可以证出△CAB∽△CMD,得到在直角△AHC中,根据勾股定理得出AC,就可以求出OD的长. 根据待定系数法就可以求出函数解析式. 解答:解:(1)x﹣4x+3=0,得x=3或1, ∵OB<OC,
∴B(﹣1,0),C(3,0);
(2)存在. Q1(3,3)或
;
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22
,
(3)过A作AH⊥x轴于H点. 则AH=CH=6,∴∠ACB=45°, 同理可证:∠DCM=45°, ∴∠ACB=∠DCM. 又∵∠DMC=∠BAC, ∴△CAB∽△CMD, ∴
(1分)
,
在△AHC中,同理∴∴∴
,
,,(1分) ,
. (1分)
设AD的解析式为y=kx+b(k≠0),则,
∴,
∴y=﹣x+.
点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式.运用了相似三角形的对应边的比相等,就可以求出.
25.(梅州)如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=6,AD=4,DC=3,动点P从点A出发,沿A→D→C→B方向移动,动点Q从点A出发,在AB边上移动.设点P移动的路程为x,点Q移动的路程为y,线段PQ平分梯形ABCD的周长. (1)求y与x的函数关系式,并求出x,y的取值范围; (2)当PQ∥AC时,求x,y的值;
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(3)当P不在BC边上时,线段PQ能否平分梯形ABCD的面积?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.
考点:一次函数综合题;相似三角形的判定与性质。 专题:压轴题;动点型。
分析:(1)过C作CE⊥AB于E,由勾股定理求得BC的值,进而得到梯形的周长为18,由题意知,y=﹣x+9,由于点Q只在AB上,于是能确定出x的取值范围; (2)∵PQ∥AC,∴△BPQ∽△BCA,有
,得6x﹣5y=42,与y=﹣x+9组成方程组求解
即可;
(3)通过讨论点P的位置,建立关于x,y的方程组求得x的值.
解答:解:(1)过C作CE⊥AB于E,则CD=AE=3,CE=4,可得BC=5, 所以梯形ABCD的周长为18,
PQ平分ABCD的周长,所以x+y=9, 因为0≤y≤6,所以3≤x≤9,
所求关系式为:y=﹣x+9,3≤x≤9;
(2)依题意,P只能在BC边上,7≤x≤9. PB=12﹣x,BQ=6﹣y,
因为PQ∥AC,所以△BPQ∽△BCA,所以
,即6x﹣5y=42,
,得:
解方程组
得;
(3)梯形ABCD的面积为18, 当P不在BC边上,则3≤x≤7,
(a)当3≤x<4时,P在AD边上,S△APQ=xy, 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积,则有可得:
解得
(x=6,y=3舍去),
,
(b)当4≤x≤7时,点P在DC边上,此时SADPQ=×4(x﹣4+y), 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积,则有×4(x﹣4+y)=9,
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