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(1)求P第一次运动到B点时速度的大小； (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水7
平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D2点时速度的大小和改变后P的质量．
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【答案】(1)2gR (2)mgR (3)5gR m
553【解析】(1)根据题意知，B、C之间的距离为
l＝7R－2R①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
mglsin θ－μmglcos θ＝mv2B②
式中θ＝37°.
联立①②式并由题给条件得
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vB＝2gR.③
联立③④⑤⑥式并由题给条件得x＝R⑦
Ep＝mgR.⑧
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(3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1＝R－Rsin θ26⑨
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y1＝R＋R＋Rcos θ⑩
式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实．
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设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有y1＝gt?
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x1＝vDt?
3联立⑨⑩??式得vD＝5gR?
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设P在C点速度的大小为vC.在P由C点运动到D点的过程中机械能守恒，有 1212?55?m1vC＝m1vD＋m1g?R＋Rcos θ?? 22?66?
P由E点运动到C点的过程中，由动能定理有 Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v2 C?
1联立⑦⑧???式得m1＝m.
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方法3连接体的机械能守恒问题的解法
诠释：在两个或两个以上的物体组成的系统中，单独研究其中一个物体时，机械能往往是不守恒的，但对整体来说，机械能又常常守恒的，所以在这类问题中通常需取整体作为研究对象，再找出其他运动联系来解题。
如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
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判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。
题组6 连接体的机械能守恒问题的解法
1．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
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A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为2gh
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】BD
【解析】由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与
v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械
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能守恒得mgh＝mva，解得va＝2gh，选项B正确．同时由于b初、末速度均为零，运动过程
2中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用力先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．
2．倾角θ=30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平，用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了1mgl
4C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
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D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和 【答案】BD
【解析】因物块所受的细线的拉力做负功，所以物块的机械能逐渐减少，A错误；软绳重力势能共减少mg［(?lsin?)?(?l)］?12121mgl，B正确；物块和软绳组成的系统受重力和摩擦4力作用，由动能定理可得：重力做功(包括物块和软绳)减去软绳克服摩擦力做功等于系统(包括物块和软绳)动能的增加，设物块的质量为M，即M+Wm-Wf=ΔEkM+ΔEkm，物块重力势能的减少等于WM，所以C错误；对软绳有Wm-Wf+WF=ΔEkm，WF表示细线对软绳的拉力做的功，软绳重力势能的减少等于Wm，显然小于其动能的增加与克服摩擦力所做的功之和，D正确。
3.(多选)将质量分别为m和2m的两个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
A.A、B两球的线速度大小始终不相等 B.重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小 C.B球转动到最低位置时的速度大小为D.杆对B球做正功，B球机械能不守恒 【答案】 BC
【解析】 A、B两球用轻杆相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，选项A错误；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小，选项B正确；设B球转动到最低位置时速度为v，两球线速度大小相等，对A、B两球和杆组1122
成的系统，由机械能守恒定律得2mgL－mgL＝(2m)v＋mv，解得v＝
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gL，选项C正确；3
2gL 3
B球的重力势能减少了2mgL，动能增加了mgL，机械能减少了，所以杆对B球做负功，选项D
错误。
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