高中物理竞赛(静力学)

[答案:(1)10N;(2)10N,30N]

解:(1)取球与斜面的接触点为转轴:mgRsin370?T(R?Rcos372)?0,得T=10N; (2)取球心为转轴得,f=T=10N;

取C点为转轴:f(R?Rcos370)?NRsin370?0,得N=30N.

12. 一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝

码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A点的距离应为多少? (答案:0.1m)

解:米尺长用L表示,重用G表示,设砝码距A点的距离为x,

对悬挂点,有力矩平衡:L?G??L?x??G,解得x=0.1m. 13. 两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所

0

示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是MA=2MB,?=45,求?.

0

(答案:45)

0

(对整体,根据对O点的力矩平衡,?=?=45)

14. 水平路面上有一根弯成直角的铁条ABC,AB段和BC段的长度相等,质量分

别是M1和M2,通过系在角顶B的绳子用平行于路面的力匀速地拉铁条,如

图所示,求绳子必须与AB成多大的角. (答案:????tan?1 (根据摩擦力矩对B点的力矩为零,得????tan?1M1 M2M1) M214?1?4?5?3

(2)二力杆:两端受力的杆,力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。 15. 如图所示,每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内,已知A、B两处与

地面间的动摩擦因数分别为?A=0.2,?B=0.6,C点用光滑的铰链连接,不计梯重,求人最多能爬多高。(答案:0.45L)

解:若B端开始滑动,AC为二力杆,地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30?,

-1-1

而A点对应的摩擦角?A=tan?A=tan0.2<30?。AC杆不能衡。

若A端开始滑动,AB为二力杆,地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30?,而B点对应

-1-1

的摩擦角?B=tan?B=tan0.6>30?。AB杆能衡。

所以人必须从A点沿梯上爬,此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。 对整体,根据三力共点,人的重力作用线必通过FA和FB的交点。

设人的水平距离为s,有几何关系(两边高相等):scot?A=(L-s)cot30?, 得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。

16. 如图所示,一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一

细棒相连,两棒的长度相等,两棒限以图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在C端加一个适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图示的位置处,即两棒间的夹角为90?,且C端正好在A端的正下方。 (1)不管两棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向的范围内?说明道理(不要求推算)。

(2)如果AB棒的质量为m1,BC棒的质量为m2,求此外力的大小和方向。

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12g2m12?10m2?8m1m2] 4 解(1)设F的方向与AC夹角为?,如果当m1质量很小时,AB对BC的作用力沿AB方向,则

1-1

F的方向必交于AB的中点,?=45?-tan2=18?.24?;

[答案:(1)F的方向与AC夹角范围18?.24?-45?间;(2)F?如果当m2质量很小时,则F的方向沿BC方向,?=45?。 所以F方向的范围是?=18?.24?-45?间。

L (2)以A为转轴,对两棒有:(m1?m2)g?sin450?F?2Lsin?----?

2L以B为转轴,对BC有:m2g?sin450?F?Lsin(450??)----?

2sin(45?-?)=sin45?cos?-cso45?sin?----?

12有???式得F的大小:F?g2m12?10m2?8m1m2;

4F的方向与竖直线的夹角?=tan?1可见,m1=0时,?=tan?1m1?m2.

3m2?m11?18?.24?;m2=0时,?=tan?11?45?. 33.物体的平衡条件:F=0;M=0

17. 质量为m的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水

mgmgcot?平面夹角为?,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力. (答案:) ,2sin?218. 如图所示,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数

为?.则当斜面倾角?大于 时,无论水平推力F多大,物体

-1

不可能沿斜面向上运动(答案:cot?)

无论水平推力F多大,物体不可能沿斜面向上运动,这种情况称为自锁。

如放在水平地面上的物体,跟水平面之间的动摩擦因数为?.推力F与水平面之间的夹角为?,则当?大于时,无论水平推力F多大,物体不可能运动。

?mg有Fcos?=(mg+Fsin?)?,得F?,推不动:cos?-?sin?=0,cot?=?.

cos???sin?或Fcos?(增加的动力)?Fsin??(增加的阻力),得cot???. 19. 有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水

平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为?(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的

3Gr11?2sin?张力. [答案:T?(?)]

L1?cos?cos? 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.

解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.

解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.

解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcot?.

再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).

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对A点,有力矩平衡TAC?N1AD?3G(r?2rsin?)

?式中AD?r/tan,AC?Lcos?

23Gr11?2sin?有上述四式可行T?(?).

L1?cos?cos?

20. 一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙

间的静摩擦因数分别为?1、?2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

1??1?2(答案:??tan?1)

2?1 解法1:设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为?, 则有f1=?1N1, f2=?2N2(同时达到最大,与上题有区别) 水平方向:?1N1=N2,竖直方向:?2N2+N1=G, 得:G=?2N2+N2/?1------?

L取A点为转轴:Gcos??LN2sin??L?2N2cos??0-----?

21??1?21??1?2解得tan??,即??tan?1。

2?12?1 解法2:地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点(如图的D点)

则有:tan?1=?1,tan?2=?2,

BCDH?DEDHDE11有几何关系:tan??????cot?1?tan?2,

AC2AH2AH2EB221??1?2可解得:??tan?1。

2?1

三、平衡的种类

1.平衡的种类:稳定平衡;随遇平衡;不稳定平衡。

2.判断平衡种类的方法:力矩比较;支持面判断;重心升降。

21. 粗细均匀、长为L、密度为?的木杆,下端用细线系在容器底下,然后在容器中逐渐加水(水

?L)的密度为??,??>?),则木杆浸没水中的长度至少为多少时,木杆才能竖直. (答案: ??LL? 力矩比较:竖直的条件是恢复力矩L?S??g?sin?=LS?g?sin?,

22?L 木杆浸没水中的长度至少为得L????22. 边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,如

图所示,假定静摩擦力很大,足以阻止立方体下滑,试证明物体的稳定平衡的条件为r>a/2.

解法1,支持面判断:a作微小转动时,均匀立方体与圆柱面接触点移动的距离等于弧长=r?,此时重力垂线与均匀立方体底交点

a移动的距离=tan?。

2注意:作微小转动??0,tan??sin???,且弧长等于弦长。

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aatan?,得r>。 22 解法2,重心升降法(最常见的解法):设均匀立方体的重心为O ?,原来与球面的接触点为A,转过一个微小角度?后的接触点为B。 注意:圆心角、弦切角和切线间的夹角关系。

acos?O?A的高度为:; AB的高度为:r?sin?; OB的高度为:rcos?.

2acos?a稳定平衡的条件:+ r?sin?+ rcos?--r>0,

22a?22?当?很小时:sin?=?,cos?=1?2sin。代入上式得:r>。 ?1?22223. 如图所示,一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别

为a、b,且长轴的长度为c,蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡,若要使蛋的尖端在一半球形的碗内处于稳定平衡,半球形碗

c?a的半径应满足什么条件?(答案:R?b)

c?a?b 重心升降:因蛋圆的一端刚好可以在水平面上处于稳定平衡,说明重心在O1处,重心离蛋的尖端的距离为c-a。

把半球形碗的球心记为O,使蛋转过一个微小的角度?,蛋与碗的接触点为A,有数学知识易知,O、O2、A三点共线,设OA与竖直线的夹角为?,则有:R?=b?-----?

设蛋的尖端为B,最低点为C,半球形的碗的最低点为D,半径为R,A点比B点低,比C点高。 则O1B的高度为:(c-a)cos(?-?)

???BC的高度为:b(?-?)sin(弦切角等于圆心角的一半)

2??CA的高度为:b?sin, AD的高度为:R? sin

22?????稳定条件:(c-a)cos(?-?)+b(?-?)sin-b?sin+R?sin-(c-a)>0--?

222稳定平衡的条件为r?>

?2?2当?很小时:cos?=1-、sin?=?。有??式,得:(R-b)[(c-a-b)R-b(c-a)]<0 22因R>b,所以(c-a-b)R

c?a?b四、流体静力学:

1、流体对接触面的压力与接触面垂直。 2、浮力的大小等于上下压力差。

22

如:大气压强为P气体对半球面的压力F=?PR(不是2?PR)。

24. 如图所示,有一质量为m、半径为r的半球放在盛有密度为?的液体的

容器底部,它与容器底部紧密接触(即半球表面与容器底面间无液体),液体的深度为H.求半球对容器底部的压力.

2r32

[答案:F=?g?(Hr-)+mg+P0?r,P0为大气压强] 32

解:液体对半球的压力可等效于:若液体对半球底有向上的压力,则向上的压力与向下的压力差等于浮力,

32?r3222r则F向下=F向上-F浮=?gH?r-?g?=?g?(Hr-),

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