力、物体的平衡
补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ?重心的定义：x?m1gx1?m2gx2???，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
m1g?m2g????重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 如将质量均匀的细杆AC（AB=BC=1m）的BC部分对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：
GG（0.5-x）=(x+0.25),得x=0.125m（离B点）.
22GG或以A点为转轴：0.5? +(1+0.5)=Gx?,
22得x?=0.875m，离B点x=1-x?=0.125m. 2.巴普斯定理：
?质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x，
414R绕直径旋转一周，?R3?2?x??R2，得x?
323??质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x，
2R绕直径旋转一周，4?R2?2?x??R，得x?
?1. （1）半径R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内
切圆板，如图a所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b所示是一个均匀三角形割去一个小三角形
1AB?C?，而B?C?//BC，且?AB?C?的面积为原三角形面积的，
4已知BC边中线长度为L，求剩下部分BCC?B?的重心。
R2L[答案：(1) 离圆心的距离；(2)离底边中点的距离]
69 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为?，重心离圆心的距离为x.
RRRR
有力矩平衡: ?[R2?2()2]?x??()2?(?x),得x?=5cm.
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填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵
R
消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得x?.
6
能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,
R
可得x?.
6
1
(2) ?AB?C?的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的三角形中线长度的
1。 21，中线长度应为原4L，且在中线上。 32L类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离x?，且在原三角形的中线上。
9 思考：三根均匀杆AB、BC、CA组成三角形，其重心在哪？（内心，要用解析几何） 2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m，叠放在水平桌面
上，如图所示。求它的最大跨度（即桌边P点离最上面一块砖右边的Q点的水平距离）。（答案：0.3125m）
设原三角形BC边的中线长为L。原重心离BC边的距离为
L1115(1????)?m=0.3125m 2234163. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心线上,离杯底的高度为H,今将水慢慢注
解：Lm?入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为
?)（答案：h??m?m2?2?R2?mH2?R? 解:开始注水时共同重心在水面之上,这时如果加水,就等于在共同重心下方加质量,所以重心将会随着水的注入而逐渐下降.
当重心下降到水面时,重心最低,因为此时如果再加水,就是在共同重心上方加质量,重心就会升高.
重心最低时水面离杯底的距离为h应满足:??