y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
－3x＋?6－a?x＋a(2)由(1)知f′(x)＝， xe令g(x)＝－3x＋(6－a)x＋a， 由g(x)＝0，
6－a－a＋366－a＋a＋36
解得x1＝，x2＝. 66当x
知x2＝≤3，解得a≥－.
62
2
2
2
2
2
3
e3e
?9?故a的取值范围为?－，＋∞?. ?2?
命题点二 导数的应用难度：高、中3 命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(20152安徽高考)设x＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2； ④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
解析：令f(x)＝x＋ax＋b，则f′(x)＝3x＋a. 当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确； 当a＜0时，若a＝－3，
则f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)， ∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，
2
3
2
f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，需f(x)极大＜0或f(x)极
小
＞0，∴b＜－2或b＞2，①③正确，②不正确． 答案：①③④⑤
2．(20152全国卷Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
解析：设y＝g(x)＝则g′(x)＝
f?x?
(x≠0)， xxf′?x?－f?x?
，
x2
49
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 答案：(－∞，－1)∪(0,1)
3．(20152全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 1
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
x若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
?1?若a>0，则当x∈?0，?时，f′(x)>0；
?
a?
?1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)<0.
?a?
1?1???0，所以f(x)在?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减． ??a??a?(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 1
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
af ??＝ln??＋a?1－ ?＝－ln a＋a－1. ?a??a??a?
?1??1?
?
1?
?1?因此f ??>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
?a?
令g(a)＝ln a＋a－1，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0
4．(20152江苏高考)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)． (1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取
3
2
50