B??B??B??1i2j?B3k
即B?在直角坐标系中的三个方向余弦分别为：
cos??B1B13B?B2?B22? 12?B33cos??B2B23B?B2?B22? 12?B33cos??B3B3B?B2?B212?B2?333 47.
解：设x为假想平面里面的一边与对称中心轴线距离，
Rx?R???BdS??B1ldr?B2ldr，
x?RdS = ldr
B?0Ir1?2?R2 (导线)
B?0I2?2?r (导线外)
???0Il(R2?x2)??0Il4?R22?lnx?RR
令 d? / dx = 0， 得? 最大时 x?12(5?1)R
48.
解：磁场作用于粒子的磁场力qv??B?任一时刻都与速度 v?垂直，在粒子运动过程中不对粒子作功，因此它不
改变速度的大小，只改变速度的方向．而重力是对粒子作功的，所以粒子的速率只与它在重力场这个保守力场中的位置有关．由能量守恒定律有：
12mv2?mgy ∴ v?2gy 49.
解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R1的载流半圆弧在O点产生的磁感强度为B1，则
B?0I1?4R
1同理, B?0I2?4R
2∵ R1?R2 ∴ B1?B2 故磁感强度 B?B2?B1
??0II0I4R??024R??16R
2∴ R1?3R2 50.
解：选坐标如图．无限长半圆筒形载流金属薄片可看作许多平行的无限长载流直导线组成．宽为dl的无限长窄
条直导线中的电流为
dI?III?Rdl??RRd???d? 它在O点产生的磁感强度
dB??0dI??0y dI ??2?R2?R?I?d?
dl dB?dB ??d? 0x x??dBsin???2?2Rsin?d?R
O ??dB?0y?dBcos??2?2Rcos?d?
对所有窄条电流取积分得
?Bx????0I?0I2?2Rsin?d? ??0I202?Rcos??0???2R
?B?0I?d???0?y??02?2Rcos2?2Rsin?0= 0
O点的磁感强度 B??B???0I?xi?Byj???2Ri??6.37?10?5?i T 51.
解：匀强磁场B?对平面S?的磁通量为：
??B??S??BScos?
30 cm O d 设各面向外的法线方向为正
40 cm (1) ?abOc?BSabOccos???0.24 Wb ????B?x c n? (2) ?bedO?BSbedOcos(?/2)?0 z (3) ?acde?BSacdecos??0.24 Wb
52.
解：利用无限长载流直导线的公式求解．
(1) 取离P点为x宽度为dx的无限长载流细条，它的电流 di??dx dx (2) 这载流长条在P点产生的磁感应强度
dB??0di0?dxx O 2?x??2?x
x P 方向垂直纸面向里．
(3) 所有载流长条在P点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P点产生的磁感强度
B??dB??a?b0?2??dxx??0?a?bb2?lnb 方向垂直纸面向里． 53.
解：长直导线AC和BD受力大小相等,方向相反且在同一直线上，故合力为零．现计算半圆部分受力，取电流
元Idl?，
y ?dF??Idl??B? 即 dF?IRBd?
B? d? dFx dF 由于对称性
?dFdFy x?0
A ??B x ?I I ∴ F?FF?2 y??dFy??IRBsin?d??2RIB
F?1 0C D 方向沿y轴正向 54.
解：建立坐标系，Ox如图所示，设Ox轴上一点P为B = 0的位置，其坐标为x，在P点B???1向上，B2向下，B3向上，故有下式
?0I2?0I2?x?2?(?d?x???0I2?(d?x?
O ⊙ 12d?xP ⊙ ??1 2 3 x x?22d?x?1d?x, ?2xx(2d?x)?1d?x 代入数据解出 x = 2 cm
B = 0的线在1、2连线间，距导线1为2 cm处，且与1、2、3平行(在同一平面)． 55.
解：(1) 对r～r+dr段，电荷 dq = ? dr，旋转形成圆电流．则
dI?dq??? O 2??2?dr r a 它在O点的磁感强度
dr b ??dB0dI???0dr0??2r?4?r
a?bB0dr???0a?0??dB???0?4??ar?b4?lna
方向垂直纸面向．
(2) dpm??r2dI?1??r22dr a?bpm??dpm??12??r2dr???[(a?b)3?a3]/6 a方向垂直纸面向．
(3) 若a >> b，则 lna?ba?ba， B?0??b??0q0?4?a?4?a
过渡到点电荷的情况．
同理在a >> b时， (a?b)3?a3(1?3b/a)，则
p??3bm?6a?3a?12q?a2 也与点电荷运动时的磁矩相同． 56. 解：
F??qv??B?
由于v??B?∴ F?qvB?m2 evR
R?mev2mevqvB?qB =5.69×10-7 m ??v?2.80×1092?R s-1 57.
解：导线每米长的重量为 mg =9.8×10-
2 N
平衡时两电流间的距离为a = 2l sin?，绳上力为T，两导线间斥力为f，则：Tcos? = mg Tsin? = f
f??0I2/(2?a)??20I/(4?lsin?)
I?4?lsin?mgtg?/?0?17.2 A
58.
解：两折线在P点产生的磁感强度分别为：
B?0I21?4?a(1?2) 方向为? B?0I22?4?a(1?2) 方向为⊙ B?B1?B2?2?0I/(4?a) 方向为?
59.
解： ??BScos?t?B0Ssin?tcos?t
d?/dt?B0S(?sin2?t?cos2?t)??B0S?cos(2?t)
?i??B0S?cos(2?t)
60.
解：如俯视图所示
???(?v?B?)?dl?
B? ?? v? ?vBsinθ?b
? r ?v0Ivt2?rrb vt I ???22 a ?0Ibv?0Ibvt2?r2t?2??a2?v2t2 61.
解： W?B22?V?B22?lS??Bl2? 式中l为环长．但B?(NI/l)?，即Bl??NI．代入上式得
W?12?NI?0.125 J
62.
解：设在时间t1→t2中线圈法线从平行于磁场的位置转到垂直于磁场的位置，则在t1时刻线圈中的总磁通为
N??NBS (S为线圈的面积)，在t2时刻线圈的总磁通为零，于是在t1→t2时间总磁通变化为
?(N?)??NBS
令t时刻线圈中的感应电动势为?，则电流计过的感应电流为
i??Nd?R?r??R?rdt t1→t2时间通过的电荷为
t2?q??idt??N2NNBSt1R?r??d?????? 1R?rR?r∴ B?q(R?r)/(NS)?5?10?2 T
63.
解：设半径为a的长螺线管入电流I，则管的均匀磁场
Ba??0naIa??0N1Ia/L
通过半径为b的线圈横截面积的磁通量为：
?b?Ba?Sb??0N1Ia?b2/L
通过半径为b的长螺线管的磁链为：
?b?N2?b??0N1N2Ia?b2/L
根据定义： M??2b/Ia??0N1N2?b/L
64.
c
× b 解：大小：??=?d???d t???S dB / d t
R × O ? ??=?S dB / d t =(1R2??1× 2Oa22?sin?)dB/dt B? a d =3.68mV 方向：沿adcb绕向． 65.
解：动生电动势： d??(v??B?)?dr?
R2大小： ????rBdr?1?B(R222?R1)
R12指向：C─→A
66.
解：(1) 将铜管看作极密绕的细长螺线管，则B??0nI 这里nI表示单位长度上的电流．本题过l宽的电流为I，
所以每单位长的电流为I /l，因此管中磁感强度为：
B = ?0I /l
(2) 根据磁场能量密度公式：wB2m?2?，储藏于宽度为l，半径为R的圆管的磁场能量为：
0wB22?220I2?0I22m?2??Rl?2?Rl??R 02?0l2l又由 wm?12LI2 可得 L??0?R2/l 67.
解： w?1?2?10H?2220(nI) ∴ I?(2w/?0)/n?1.26 A 68.
解：设线圈的面积矢量S?在t =0时与B???0平行，于是任意时刻t, S与B0的夹角为?t，所以通过线圈的磁通量为：??B??S??B?ab?cos?t?10sin?t2B0absin2?t
故感应电动势： ???d?/dt??B0ab?cos2?t
?的正绕向与S?的方向成右手螺旋关系，?的变化频率为：
f??2??2??22? B?的变化频率为： f??/2?
∴ f??2f 69.
解：(1) Φ(t)??B??dS???b?vt0I?Ildr?S?2?rldr?0?0Il2?lnb?vt a??vtr2?a?vt(2) ???dΦdt??0lIv(b?a)t?02?ab
70.
解：设N1匝线圈中电流为I1，它在环中产生的磁感强度为：
B1??0n1I1
通过N2匝线圈的磁通链数为：?12?N2B1S 两线圈的互感为： M??12/I1??N10N22?R?a2??0N1N2a2/(2R) 71.
解：(1) 单位长度的自感系数 B??0I/(2?r) r1 < r < r2
r2???B??dS???r20Idr?0Ir2r12???lnr r1r2?1∴ L??I??02?lnr2r 112(2) 单位长度储存的磁能 W?2?0Ir2m2LI?4?lnr
172.
解：导线ab中流过电流I，受安培力F1?IlB，方向水平向右，为保 ?持导线作匀速运动，则必须加力F? L＇ 2，F2?F1，F??L B? a 2方向与F1相- F2 I F?1 反，即水平向左，如图所示．
+ M b M＇ F2?F1?IlB?0.20 N
73.
解：设回路中电流为I, 在导线回路平面，两导线之间的某点的磁感强度B?的大小为
B??0I0I2?x??2?(d?x)
上式中x为某点到两根导线之中的一根的轴线的距离, 如图所示．B?垂直于回路平面．所以沿导线方向单位长度对应的回路面积上的磁通量为
d?rd?rd?r???Bdx?0Ir??0Ir2?xdx???
r2?(d?x)dx?2??0Id?r I 2?lnr??0Id?lnr x d 2r I ∴ L????0 B I?lndr 74.
解：(1) 运动导体中的自由电子要受到洛伦兹力的作用沿－y方向运动，从而在垂直于y轴的一对表面上分别积
累上正负电荷，该电荷分布建立的电场方向沿－y轴．
当自由电子受到的电场力与洛伦兹力作用而达到平衡时，电场强度为：
E = vB?
写成矢量形式为E??v??B?．
(2) 面电荷只出现在垂直y轴的一对平面上，y坐标大的面上出现的是正电荷，y坐标小的面上出现的是负电荷，二者面电荷密度的大小相等，设为?，则由高斯定理可以求得