∴
5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?dq??Rd?dEO则产生点如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
A?q0(UO?UC)?qoq6π?0R
题5-10图
E??dEy??2???
?Rd?cos??4π?R202
????sin(?)?sin4π?0R［2］ 2??2π?0R
A(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0
2R?dx?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000
?U2?ln24π?0同理CD产生
半圆环产生
U3?πR???4π?0R4?0
∴
2
5-11 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如
-7
果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
UO?U1?U2?U3???ln2?2π?04?0题5-11图
(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB
?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2
q?A且 ?1+?2S
得
?2?qA2q,?1?A3S 3S
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
qB???2S??1?10?7C (2)
?1dAC?2.3?103?0V
5-12 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现
UA?EACdAC?给内球壳带电+q，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题5-12图
????U??E?dr??R2R2
(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电
qdrq?4π?0r24π?0R
荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2
U?q4π?0R2?q4π?0R2?0得 外球壳上电势
q'q'?q?q'?R1?R2?qUB?4π?0R2?4π?0R2?4π?0R2?24π?0R2q??R1qR2
5-13 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?QrD?,E内?4πr34π?0?rr3???D?dS??qS
;
介质外(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外?34πr4π?0r3 (2)介质外(r?R2)电势 U???r??E外?dr?Q4π?0r
介质内(R1?r?R2)电势
??????U??E内?dr??E外?dr rr
?11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2q
? (3)金属球的电势
1??1(?r)4π?0?rrR2 QR2?????U??E内?dr??E外?drR1R2QdrR4π??r2R24π?r20r0Q1??1?(?r)4π?0?rR1R2 ??R2Qdr
???
题5-14图
5-14 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处/R1＜r＜R2/，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容．
解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1?r?R2)时，?q?Q ∴
D?Q2πrl??D??dS?2πrlD(S)
D2Q2w??2222?8π?rl(1)电场能量密度
Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl薄壳中
(2)电介质中总电场能量
W??dW??VR2R1RQ2drQ2?ln24π?rl4π?lR1
Q2W?2C(3)电容：∵
Q22π?lC??2Wln(R2/R1) ∴