进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据（单位：5 5 3.1 6.9
（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为由；
（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为求所有样本数据的平均值；
（3）如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率. 【答案】（1）能；（2）【解析】 【分析】
（1）根据样本数据中能被选为种鱼的身长数据，可知
能被选为种鱼；（2）根据分层
；（3）.
，中华彩鲤样本数据平均值为
，
，它能否被选为种鱼？说明理
6 4 5.2 4.8 7 3 4.4 5.6 7.5 2.5 5 5 8 4 6.4 56 ）如下：
4 6 7 3 3.5 6.5 4 6 4.5 5.5 3 7 4.3 5.7 3.4 6.6 8.4 1.6 3.5 6.5 抽样原则得到中华彩鲤的样本数，根据平均数计算方法求解得到结果；（3）列出与体长最长的尾中的尾组合到一起的所有情况，根据古典概型求得结果. 【详解】（1）能被选为种鱼
尾中国红鲤中有样本数据中身长为身长为由于
尾能被选为种鱼 和
尾中国红鲤样本中有尾能被选为种鱼
的中国红鲤能被选为种鱼
以下的中国红鲤不能被选为种鱼 ，所以该尾中国红鲤能被选为种鱼
尾
（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为
所有样本数据平均值
（3）记体长最长的尾中华彩鲤为与组合的中华彩鲤，共有
，
，
，其他尾中华彩鲤为，
，
，
，
七种情况
所以，体长最长的尾组合到一起的的概率为
【点睛】本题考查抽样方法中分层抽样的应用、列举法解决古典概型中的概率问题，属于基础题.
20.已知圆：
与点到轴的距离相等. （1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，其中在线段上，求【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据已知条件可知由
等于点到直线
的距离，由抛物线定义可得轨迹方程；（2）
；根据抛物线定义可求得
，
的最小值及此时直线的斜率. ；（2）4，
.
上，在线段
，动点
，线段
与圆相交于点，线段
的长度
三点共线，可根据向量坐标运算得到
利用基本不等式求得最小值；再根据最值成立条件求得点坐标，从而可求得直线斜率. 【详解】（1）由题知：点到的距离
等于到直线由抛物线的定义可知： 点的轨迹是以为焦点，以所以动点的轨迹的方程为：（2）设
，
，
为准线的抛物线
，
的距离
等于到轴的距离加
三点共线 与共线
，整理得：
由抛物线的定义得：由基本不等式：当且仅当
时等号成立，即
，即
成立
又 或
或
所以
的最小值为，此时直线的斜率为
【点睛】本题考查利用抛物线定义求解轨迹方程，直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解决最值问题的关键是能够求解出积的定值，从而使问题转化为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出和的最小值.
21.已知函数（1）若（2）若立. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据函数单调递增可得数求解出当
时，
在，在，通过导数研究
【详解】（1）由已知
，将问题转化为
在
上恒成立；利用导
；（2）证明见解析
在，且
，
.
上为单调递增，求实数的取值范围；
，求证：对定义域内的任意实数，不等式
恒成
的最小值，从而得到的取值范围；（2）将问题转化为证明
和
时分别得到需恒成立的不等式；令
可证得结论.
单调性，结合的定义域为
所以
在
上单调递增
对任意即令当函数因为
，都有
，时，
在
时，总有
；当
时，
上单调递减
上单调递增，在
恒成立，即
时，
（2）当时，
对定义域内的任意正数，不等式因为当
时，
；当时，
时，；当
， 时，
所以只须证：当令
令当所以所以
在
所以当当
时，时，时，是
，则
；当
的极值点，从而
恒成立
上单调递增，又因为
，即，即
恒成立； 恒成立 恒成立
时，
有极小值，即最小值
所以，对定义域内的任意实数，不等式
【点睛】本题考查已知函数在某一区间的单调性求解参数范围的问题、利用导数进行恒成立不等式的证明问题，证明不等式时，通过分析法将所证不等式进行转化，通过构造函数的方式，结合函数单调性证得结论.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程