山东省青岛市2020届高三数学5月第二次模考试题 文(含解析)

进精神的载体,又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化,准备进行“中国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后,将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况,按照品种进行分层抽样,其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据(单位:5 5 3.1 6.9

(1)根据以上样本数据推断,若某尾中国红鲤的体长为由;

(2)通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为求所有样本数据的平均值;

(3)如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合,求体长最长的2尾组合到一起的概率. 【答案】(1)能;(2)【解析】 【分析】

(1)根据样本数据中能被选为种鱼的身长数据,可知

能被选为种鱼;(2)根据分层

;(3).

,中华彩鲤样本数据平均值为

,它能否被选为种鱼?说明理

6 4 5.2 4.8 7 3 4.4 5.6 7.5 2.5 5 5 8 4 6.4 56 )如下:

4 6 7 3 3.5 6.5 4 6 4.5 5.5 3 7 4.3 5.7 3.4 6.6 8.4 1.6 3.5 6.5 抽样原则得到中华彩鲤的样本数,根据平均数计算方法求解得到结果;(3)列出与体长最长的尾中的尾组合到一起的所有情况,根据古典概型求得结果. 【详解】(1)能被选为种鱼

尾中国红鲤中有样本数据中身长为身长为由于

尾能被选为种鱼 和

尾中国红鲤样本中有尾能被选为种鱼

的中国红鲤能被选为种鱼

以下的中国红鲤不能被选为种鱼 ,所以该尾中国红鲤能被选为种鱼

(2)根据分层抽样的原则,抽取中华彩鲤样本数为

所有样本数据平均值

(3)记体长最长的尾中华彩鲤为与组合的中华彩鲤,共有

,其他尾中华彩鲤为,

七种情况

所以,体长最长的尾组合到一起的的概率为

【点睛】本题考查抽样方法中分层抽样的应用、列举法解决古典概型中的概率问题,属于基础题.

20.已知圆:

与点到轴的距离相等. (1)求动点的轨迹的方程;

(2)过点的直线交曲线于,两点,交圆于,两点,其中在线段上,求【答案】(1)【解析】 【分析】

(1)根据已知条件可知由

等于点到直线

的距离,由抛物线定义可得轨迹方程;(2)

;根据抛物线定义可求得

的最小值及此时直线的斜率. ;(2)4,

.

上,在线段

,动点

,线段

与圆相交于点,线段

的长度

三点共线,可根据向量坐标运算得到

利用基本不等式求得最小值;再根据最值成立条件求得点坐标,从而可求得直线斜率. 【详解】(1)由题知:点到的距离

等于到直线由抛物线的定义可知: 点的轨迹是以为焦点,以所以动点的轨迹的方程为:(2)设

为准线的抛物线

的距离

等于到轴的距离加

三点共线 与共线

,整理得:

由抛物线的定义得:由基本不等式:当且仅当

时等号成立,即

,即

成立

又 或

所以

的最小值为,此时直线的斜率为

【点睛】本题考查利用抛物线定义求解轨迹方程,直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解,解决最值问题的关键是能够求解出积的定值,从而使问题转化为符合基本不等式的形式,利用基本不等式求出和的最小值.

21.已知函数(1)若(2)若立. 【答案】(1)【解析】 【分析】

(1)根据函数单调递增可得数求解出当

时,

在,在,通过导数研究

【详解】(1)由已知

,将问题转化为

上恒成立;利用导

;(2)证明见解析

在,且

.

上为单调递增,求实数的取值范围;

,求证:对定义域内的任意实数,不等式

恒成

的最小值,从而得到的取值范围;(2)将问题转化为证明

时分别得到需恒成立的不等式;令

可证得结论.

单调性,结合的定义域为

所以

上单调递增

对任意即令当函数因为

,都有

,时,

时,总有

;当

时,

上单调递减

上单调递增,在

恒成立,即

时,

(2)当时,

对定义域内的任意正数,不等式因为当

时,

;当时,

时,;当

, 时,

所以只须证:当令

令当所以所以

所以当当

时,时,时,是

,则

;当

的极值点,从而

恒成立

上单调递增,又因为

,即,即

恒成立; 恒成立 恒成立

时,

有极小值,即最小值

所以,对定义域内的任意实数,不等式

【点睛】本题考查已知函数在某一区间的单调性求解参数范围的问题、利用导数进行恒成立不等式的证明问题,证明不等式时,通过分析法将所证不等式进行转化,通过构造函数的方式,结合函数单调性证得结论.

请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修4-4:坐标系与参数方程

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