联立C2的极坐标方程得：?2?解得cos2??所以??
6?16cos2?，由题意易得cos?≥0，………2分 22cos??11311或cos2???（舍去），所以cos??或cos???（舍去），……3分 4422π5π，??2或??，??2，
33
?π??5π?所以C1与C2的交点的极坐标为?2,?或?2,?． ……………………………………5分
?3??3?（2）如图，因为MN是C1的一条直径，且C1过原点O， 所以OM?ON，即AC?BD，不妨设点A在第一象限， π??π??设A??1,??，???0,?，则D??2,???，……………6分
2??2??1由对称性知SABCD?4S?OAD?4??OA?OD?2?1?2，
2所以，SABCD2?4?12?22?4?6?2cos2??16π??2cos2?????12? ?……………………………7分
?144144144?≥=36， ……………………8分 222sin2??342cos??12sin??1????当且仅当2??ππ
，即??时等号成立，…………………………………9分 24
所以SABCD≥6，所以四边形ABCD的面积的最小值为6． …………………………10分
x2y2解法二：（1）曲线C2的方程化为直角坐标方程为??1， …………………1分
26即y2?6?3x2，联立C1的直角坐标方程得：(x?2)2?6?3x2?4，
解得x?1或x??3（舍去）， …………………………………………………………3分 ?π??5π?所以C1与C2的交点的直角坐标为1,?3，化为极坐标为?2,?或?2,?，
?3??3??π??5π?所以C1与C2的交点的极坐标为?2,?或?2,?． …………………………………5分
?3??3???（2）如图，因为MN是C1的一条直径，且C1过原点O，所以OM?ON，即AC?BD， 1不妨设直线AC的方程为：y?kx(k?0)，则直线BD的方程为：y??x，……6分
k把y?kx代入C2的方程得：xA2?6， k2?3261?k??，……………………………………………7分 6所以|OA|?1?k2?2?k?3k2?3 - 13 -
1??6?1??22把k换成?1k得：|OD|???k?6?k?1?1?1?3k2， ………………………………8分 k2?3由对称性知SABCD?4S?OAD?2?OA?OD，
22所以S?26?1?k2?ABCD?6?1?k2??12?1?k?k2?31?3k2?k2?3??1?3k2?，
22≥12?1?k??222?6，……………………………………………9分
?k?3?1?3k?
?2??
当且仅当k2?3?1?3k2即k??1时等号成立，
所以四边形ABCD的面积的最小值为6． …………………………………………10分 23．[选修4?5：不等式选讲] (10分) 【解析】解法一：（1）当a?12时，g?x??x?12?2x?1??x?12，
不等式g?x2???72即?x2?12??72，即x2?172?2，……………………………1分
解得x2?4或x2??3（舍去）． …………………………………………………3分 由x2?4，解得x??2,或x?2． ……………………………………………………4分 所以，不等式g?x2???72的解集是???,?2?U?2,???． …………………………5分
（2）由题意知，只需满足f(x)min≥g(x)max即可． ………………………………6分 因为f(x)?x2?1，所以f(x)min?1 ??x?a?1,x?12，依题意，当a≥1?12时，g(x)????3x?a?1,?2≤x≤a,， ???x?a?1,x?a?得g(x)?1?1max?g??2???a?2． …………………………………………………………7分
由f(x)min≥g(x)max，得1≥a?132，即a≤2． 所以，12≤a≤32． …………………………………………………………………8分
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???x?a?1,x≤a，当a?12时，g(x)???3x?a?1,a?x?1?2,，
????x?a?1,x≥12得g(x)?1?111max?g??2????a?2．由f(x)min≥g(x)max，得1≥?a?2，即a≥?2．
所以，?12≤a?12， ………………………………………………………………9分
综上，实数a的取值范围是??13???2，2??．… …………………………………………10分
解法二：（1）同解法一；
（2）由题意知，只需满足f(x)min≥g(x)max即可．…………………………………6分 因为f(x)?x2?1，所以f(x)min?1．
因为g(x)?x?a?2x?1???1??1?1?x?2?????2?a???2x?2…………………………7分
≤x?12?12?a?2x?12?12?a?x?12≤12?a，………………………8分 当且仅当x?12时等号成立， 所以g(x)g??1?1max??2???a?2， ………………………………………………………9分由f(x)≥g(x)113minmax，得a?2≤1，即?2≤a≤2．
综上，实数a的取值范围是??13???2，2??． ……………………………………………10分
解法三：（1）同解法一； ……………………………………………………………5分 （2）由题意知，只需满足f(x)min≥g(x)恒成立即可． …………………………6分 因为f(x)?x2?1，所以f(x)min?1，所以，1≥|x?a|?|2x?1|恒成立， 即|x?a|≤|2x?1|+1恒成立，………………………………7分 在同一坐标系中作出y?|x?a|和y?|2x?1|?1的图象，…8分 如图，实线为y?|2x?1|?1的图象，虚线为y?|x?a|的图象， 由图象知，要使|x?a|≤|2x?1|+1恒成立， 只需满足x?12时112?a≤2?2?1?1成立即可，…………9分
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即
113?a≤1，解得?≤a≤， 222?13?综上，实数a的取值范围是??，?． …………………………………………10分
?22?
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