当x变化时，m?(x),m(x)的变化情况如下表：
x (0,e) e m?(x) – 0 (e,??) + 增 m(x) 减 极小值
所以 m(x)在(0,e)上单调递减，在(e,??)上单调递增.
11124)??ln??1???1?0 e2e2e2e2e2 m(e)?e?lne?2e?1??e?1?0
且m(m(e2)?e2?lne2?2e2?1?1?0 …………13分
所以 m(x)在(1,e)和(e,e2)上各有一个零点，即xlnx?2x?1?0有两个不同的解. 2e（1，1）所以 过点可作出y?lnx的2条切线. …………14分
21.（本小题14分）
解：(Ⅰ)集合A不具有性质P，集合B具有性质P.
3(3?1)不具有性质P; 23(3?1)B?B?{4,6,8,10,12,16},card(B+B)=6?,具有性质P. …………3分
2A?A?{2,5,8,11,14},card(A+A)=5?（Ⅱ）若三个数a,b,c成等差数列，则A?{a,b,c}不具有性质P，理由是a?c?2b.
*因为a1?a2?a3?2020且ai?N(i?1,2,3)所以a3?2019，
要使a1?a2?a3取最大，则a3?2019；
a2?2018，易知{2018,2019,2020}不具有性质P，要使a1?a2?a3取最大，
则a2?2017；
a1?2016，要使a1?a2?a3取最大，检验可得a1?2013；
（a1?a2?a3)max?6049 …………8分
高三数学试题第13页（共14页）
（Ⅲ）集合A具有性质P.
n?1设等比数列的公比为为q，所以an?a1q（a1?0)且q为有理数，
假设当i?k?l?j时有ai?aj?ak?al成立，则有
qj?i?qk?i?ql?i?1 …………10分
因为q为有理数，设q?m(m,n?N*)且（m,n互质），因此有 nmmm（)j?i?()k?i?()l?i?1即mj?i?mk?inj?k?ml?inj?l?nj?i（1）， nnn（1）式左边是m的倍数，右边是n的倍数，又m,n互质，
显然ai?aj?ak?al不成立. ……12分 所以card(A?A)?Cn?Cn?
12n(n?1)，所以集合A具有性质P. ……14分 2高三数学试题第14页（共14页）