事故树分析
即：
根据容斥定理得并事件的概率公式:
故顶事件的发生概率为：
式中 Pr -- 最小径集 (r=1,2, ?,k) r 、 s -- 最小径集的序数,r < s; k -- 最小径集数;
(1-qi)-- 第 i 个基本事件不发生的概率;
xi €Pr -- 属于第 r 个最小径集的第 i 个基本事件 ; xi €Pr UPs--属于第 r 个或第s个最小径集的第 i 个基本事件。 例题解答
[ 例 3-8] 以图3-12事故树为例, 试用最小割集法、最小径集法计算顶事件的发生概率。
解: 该事故树有三个最小割集:
E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集:
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P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5} 设各基本事件的发生概率为:
q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05 由式(3-18)得顶事件的发生概率:
P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4- q1q2q3q4q5- q1q3q4q5- q1q2q3q5q3+ q1q2q4q3q5 代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。 由式 (3-19) 得顶事件的发生概率:
P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1- q5)+(1- q3)(1- q4) +(1- q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q3)(1- q5) +(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) -(1- q1)(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) =0.001904872
在上述三种顶事件发生概率的精确算法中, 后两种相对较简单。一般来说, 事故树的最小割集往往多于最小径集, 所以最小径集法的实用价值更大些。但在基本事件发生概率非常小的情况下, 由于计算机有效位有限。(1- qi)的结果会出现较大误差, 对此应引起注意。从后两种方法的计算项数看,两式的和差项数分别为(2k-1) 与2k 项。当k足够大时, 就会产生 “组合爆炸”问题。如k=40, 则计算P(T)的式(3-18)共有 240-1=1.1×1012, 每一项又是许多数的连乘积, 即使计算机也难以胜任。解决的办法就是化相交和为不交和, 再求顶事件发生概率的精确解。
4.化相交集为不交集求顶上事件发生概率
某事故树有k个最小割集: El, E2, ? ,Er, ? ,EK, 一般情况下它们是相交的, 即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs 为相交集合 ,Er + ErEs 为不相交集合, 如图 3-16 所示。
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亦即 Er U Es =Er + Er,Es (3-20) 式中 U -- 集合并运算 ; + -- 不交和运算。 所以有:
P(Er U Es)=