x?(H?K)a??y?H?K,使得x?ya
?x?Ha且x?Ka?x?Ha?Ka.
因此(H?K)a?Ha?Ka.另一方面,对于任意的x?G,我们有
x?Ha?Ka?x?Ha且x?Ka
??y1?H和y2?K,使得x?y1a?y2a
?y1?y2?H?K且x?y1a?y2a
?x?(H?K)a.
因此Ha?Ka?(H?K)a.所以(H?K)a?Ha?Ka. 注:对于G的一般子集H和K也有(H?K)a?Ha?Ka.
?01??01??? 7.设A??,B??10???10??,证明:(A,B)是Q上2次一般线性群GL(2,Q)的8阶????非交换子群.
证明 我们将2阶单位矩阵记作E.通过直接演算,可知
?10???10??0?1??10?234??????,,,A2???EB?B?A??01??0?1??10??01???E, ??????????10??0?1??10?3223????,,AB???BAAB??BAAB??01???10??0?1???BA.
??????因此E,A,B,B2,B3,AB,AB2,AB3是Q上的8个不同的2阶矩阵.令
H?{E,A,B,B2,B3,AB,AB2,AB3}.
显然H?(A,B).另一方面,由于H是GL(2,Q)的有限非空子集,并且下面的运算表告诉我们,H关于矩阵的乘法封闭:
. E A A E B B B2 B2 B3 B3 AB AB2 AB3 AB AB2 AB3 B A AB3 B2 B3 E A B B2 B3 E A B AB AB2 AB3 B3 E E AB3 B2 AB AB2 A B2 AB2 B3 B3 B AB A B2 AB B3 E B B2 AB2 AB3 AB AB AB2 AB3 A E B E AB2 AB2 B2 AB3 AB3 AB3 A AB B3 B E B A AB AB2 B2 B3 21
因此H≤GL(2,Q).这样一来,由{A,B}?H可以断言(A,B)?H.所以
(A,B)?H?{E,A,B,B2,B3,AB,AB2,AB3}.
这就是说,(A,B)是Q上2次一般线性群GL(2,Q)的8阶子群.由于AB?BA,因此
(A,B)是非交换的子群.
8.证明:任何一个群都不能是它的两个真子群的并.
证明 设G是一个群.假设存在G的真子群H和K,使得G?H?K.显然,H不包含于K,K也不包含于H.任取x?H\\K和y?K\\H.于是,xy?G.若xy?h?H,则
y?x?1h?H,这与y?K\\H矛盾.因此xy?H.同理,xy?K.因此xy?H?K.这样一
来,xy?G且xy?H?K,这与我们的假设G?H?K矛盾.所以G不能是它的两个真子群的并.
§2.5变换群
1.设A是区间[0,1]上的全体实函数所组成的集合,规定:
?(f(x))?(x2?1)f(x),?f(x)?A.
问:?是否为A的变换?单变换?满变换? 答 显然?是A的变换.令
f(x),?f(x)?A. 2x?1?(f(x))?易见,?也是A的变换,并且?????是A的变换恒等变换.因此?是可逆变换,即一一变换(既是单变换,又是满变换).
2.设m是一个正整数,?a?Z,作带余除法:
a?mq?r,0?r?m.
规定f(a)?r,f是否为Z的变换?单变换?满变换? 答 显然f是Z的变换,既不是单变换,又不是满变换. 3.设R是实数集,令
H?{??RR|?(x)?ax?b,a,b?Q,a?0}.
证明:H是一个变换群.
证明 显然H??,并且H的元素都是R的一一变换.设?,??H.于是,存在
a,b,c,d?Q,a?0,c?0,使得
?(x)?ax?b,?x?R, ?(x)?cx?d,?x?R,
从而
??(x)?a(cx?d)?b?acx?(ad?b),?x?R.
22
由于ac,ad?b?Q,ac?0,因此???H.其次,令
1b?(x)?x?,?x?R.
aa易见??H,并且
1b??(x)?a(x?)?b?x??(x),?x?R,
aa1b??(x)?(ax?b)??x??(x),?x?R,
aa其中?表示R的恒等变换.因此??1???H.所以H≤E(R).这就表明H是一个变换群. 4.设?和?都是六次置换,其中
?123456??123456???,??????314625??235614??,
????计算??;?2?;???1;????1.
?123456??123456??123456? 解 ?????314625????235614?????142536??;
?????? ?2??123456????235614????2?123456???314625?? ???123456??123456??123456????351426????314625?????134652??; ???????123456??123456????1????235614?? ?314625????????123456??123456??123456????314625????512634?????231546??; ???????123456??123456??123456?????1???235614????231546?????352164??.
?????? 5.分别写出S4,A4的所有元素(用循环置换表示).
解 S4由下列24个四次置换组成,A4由其中前12个四次置换组成:
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(243),
?1(142),(134),(132),(143),(234),(124); (12),(13),(14),(23),(24),(34),(1234),(1243), (1324),(1342),(1423),(1432).
6.证明:当n?2时,n次对称群Sn可以由n?1个对换
(12),(13),?,(1n)
生成.
23
证明 定理2.25指出,当n?2时,任何n次置换都可以表示成对换的乘积.因此这里只需再阐明,当n?2时,任何对换都可以表示成(12),(13),?,(1n)这n?1个对换中一些对换的乘积.为此,设(ij)是任意一个n次对换,n?2.不妨假定i?j.当i?1时,当然可以将(ij)表示成上述一些对换的乘积,例如,(ij)?(1j)(1j)(1j).当i?1时,我们有
(ij)?(1j)(1i)(1j).
所以(ij)总是上述一些对换的乘积.
7.证明:当n?3时,n次交代群An可以由n?2个3项循环置换
(123),(124),?,(12n)
生成.
证明 任意给定??An,n?3.显然,只要我们阐明?可以表示成
(123),(124),?,(12n)
这n?2个3项循环置换中的一些置换的乘积就行了.
事实上,由于?是偶置换,根据第6题的结论可以断言,存在正偶数m,使得
???1?2??m,
其中
?k?{(12),(13),?,(1n)},1?k?m.
这样一来,我们只需阐明:对于(12),(13),?,(1n)这n?1个对换中的任意两个对换?1,?2,它们的乘积?1?2总可以表示成
(123),(124),?,(12n)
这n?2个3项循环置换中的一些置换的乘积.为阐明这一事实,不妨设
?1?(1i),?2?(1j),1?i,j?n.
于是,
(1)当i?j时,?1?2?(1)?(123)3;
(2)当i?2且j?2时,?1?2?(12)(1j)?(1j2)?(12j)2; (3)当i?2且j?2时,?1?2?(1j)(12)?(12j); (4)当2,i,j两两不相等时,
?1?2?(1i)(1j)?(1ji)?(12i)(1j2)?(12i)(12j)2.
这就是说,?1?2总可以表示成(123),(124),?,(12n)这n?2个3项循环置换中的一些置换的乘积. 8.将10次置换
????53761894210??
??表示成互不相交的循环置换的乘积,并且求出?的逆与?的阶.
?12345678910?24