工数习题集

第九次 泰勒级数 洛朗级数

一、填空题

(1)函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 (2)函数e(3)函数ez?e在0?|z|???内的洛朗展开式为

在z?0处泰勒展开式的收敛半径为

1zsinz??1(4)设??an(z?1)n,z?1?1,则a?3? z(z?1)n???(5)函数

1在1?z?i???内的洛朗展开式是

z(z?i)二、求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: 1) 3)

z?1z,z0?1; 2),z0?2; z?1(z?1)(z?2)11,z??1,z?1?i ; 4)04?3z0z2

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三、把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数。 1)

1,0?|z|?1;1?|z?2|???;

z(z?1)(z?2)

2) 3)

四、设C为正向圆周

1,1?|z|?3 2z?2z?31,0?|z|?1;0?|z?1|?1; 2z(1?z)z?3,利用洛朗级数展开式计算下列积分:

1)

1zdz; 2)?Cz(z?1)2?C(z?1)(z?2)dz。

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第十次 留数(1)

一、填空题: 1. 设z?0为函数z2. 如果z0是

2?sinz2的m级零点,那么m? f(z)的m(m?1)级零点,那么z0是f?(z)的 级零点。

1的 z?13. z?1是函数(z?1)sin4. z?1是

f(z)?sinz的 级极点。 3(z?1)二、下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级: 1). 2). 3).

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1 22z(z?1)1

z3?z2?z?1nsiz?z 3z4). ez?1z

5).

11(?1()z2)?e?z 20

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