工数习题集

第七次 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系

一 填空题

sin(?)21)、设f(z)=???zd?,其中z?2,则f'(3)?__________。

??2?ezdz?__________。 2)、设C为负向圆周z?4,则?5c(z??i)3)、设C为任意实常数,那么由调和函数u?x2?y2确定的解析函数是 。

4)、若函数u(x,y)?x3?axy2为某一解析函数的虚部,则常数a? 。 二 计算下列积分 (1)

f(z)?u?ivcoszdz,其中c1:z?2为正向,c2:z?3为负向; 3?c?c1?c2z2z2?z?1dz,c:z?2; (2)?2?(z?1)c

(3)

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1dz,其中C为复平面内不过?1的一条正向简单闭曲线。 33??(z?1)(z?1)c三 下列各已知调和函数求解析函数(1) u?

四、证明u?x

五、设v?epxsiny,求

六、计算积分

2f?z??u?vi

?x?y??x2?4xy?y2?; (2) v?y,f?2??0; 22x?y?y2,v?x都是调和函数,但是f(z)?u?iv不是解析函数。 22x?yp的值使v为调和函数,并求出解析函数f?z??u?iv。

?1?2cos?1dz的值,并由此计算?Cz?2?05?4cos?d??0

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第八次 复数项级数 幂级数

一、填空题 (1)若幂级数

??c(z?i)在z?i处发散,那么该级数在z?2处的敛散性为 。

nnn?0n2n?1(2)幂级数

?(2i)zn?0?的收敛半径R= 。

(3)极限lim2n?ni? 。

n??1?ni(4)幂级数

?(n?1)zn?0?n的和函数为 。

二、下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限。

1)anii?(1?)?n; 2)an?(?1)n?; 3)an?n2n?1sinin

三、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。

?(6?5i)ncosin1)?; 2) ?nn8n?0n?02?

?2ne2ni 3)?; 4)? sininnn?0n?0?

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四、求下列幂级数的收敛半径。

?(n!)2n1)?nz ; 2)?ei?/nzn ;

n?1nn?1? 3)

n2n; 4)(1?i)z(3?4i)z ??nnn?1n?1??

五、把下列各函数展开成z的幂函数,并指出它们的收敛半径。

1)

??11; 2); 1?z3(1?z2)2?六、求?n(n?1)(2i)?n的值。

n?2

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