取之不尽用之不完的境界，也只有这样的教学才能为我国的四化建设培养出大批栋梁之材．
２．在数学教学中，要培养学生的哪些能力？．
答：中学数学教学大纲中明确指出：要培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析问题和解决问题的能力．而其中的“分析问题和解决问题的能力”并不是单靠培养上述三种基本能力就能完成的．在数学教学过程中，还必须注意其他能力的培养，如观察能力、理解能力、记忆能力和运用能力等，它们都是在数学教学过程中的各个阶段所需要的“一般能力”． ３．培养学生的运算能力有哪些途径？试举例说明．
答：培养学生的运算能力首先必须弄清什么是运算能力．运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．
其实，对于学生的运算能力，教师在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好．总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径． （1）牢固掌握基础知识，弄通算理、法则
要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．
例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分
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数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生
112??235之类对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现
的笑话．
因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了． （２）提高记忆能力，加强运算基本功训练
培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．
一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：
1131?0.5?0.25?0.75?0.1252448、、、等等．
在初中阶段，作为运算的基本功主要是：
i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．
ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：
a、多位数与一位数相乘，直接得积； b、1－20的平方数，1－10的立方数． c、将被开方数化为质因数乘积求方根；
d、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换． e、乘法公式．
在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：
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i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．
ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度． 例如：logaa?1，loga1?0，（a?0且a?1）；
??????sin?co?s?co?ssi?n?； sin?1?sinxlim?1???elim?1n??x?0n??x ；；
n微积分基本公式等．
为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的． （3）加强运算练习
我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．
由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．
当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，
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而对教师来说是可能感知过的．
在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．而对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．
另外，在数学教学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的． ４．培养学生的逻辑思维能力有哪些途径？试举例说明．
答：逻辑思维能力就是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径： （1）教师要作出示范
中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的．数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程．数学中的概念的形成，命题的判断，都与逻辑思维紧密相连．所以，教师在传授数学知识的过程中要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，作出示范，循序渐进，潜移默化地培养学生的逻辑思维能力．
数学论证都是在一定的逻辑系统中进行的，所以教师必须在给定的逻辑系统中向学生传授知识．
例1 已知实数x、y、z，满足
11x?y?2y?z?z2?z??024
x??z?y求的值．
112x?yz?z?2y?x4 解 因为x、y、z为实数，所以2≥0，≥0，1??11??z??x?y?2y?z?z2?z??02?≥0．又因为2?4，所以
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