此时容器的高为3.2－2＝1.2m.
因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)． (1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数； (2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值． 解 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，
∴f(x)为R上的单调增函数． (2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a ＝6(x－1)(x－a)
①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，
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∴3a－1＝4，∴a＝3>1(舍去)；
②当1 ③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值， ∴54－27(a＋1)＋18a＝4， 22 解得a＝9<3(舍去)． 综上可知，a＝2. a 20．(2010·北京)(12分)设函数f(x)＝3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4. (1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． a3 解 由f(x)＝3x＋bx2＋cx＋d，得 f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4， ??a＋2b＋c－9＝0，∴?(*) ??16a＋8b＋c－36＝0， ??2b＋c－6＝0，(1)当a＝3时，由(*)得? ?8b＋c＋12＝0，? 解得b＝－3，c＝12. 又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. a (2)由于a>0，所以“f(x)＝3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)， ??a>0，解?得a∈[1,9]， ??Δ＝9?a－1??a－9?≤0， 即a的取值范围是[1,9]． 21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直． (1)求实数a，b的值； (2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围． 解 (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)， ∴a＋b＝4.① 又f′(x)＝3ax2＋2bx，则 1 f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－9)＝－1， 得3a＋2b＝9② 由①、②解得a＝1，b＝3. (2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x， 令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2， 若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3， ∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0. x＋11解 (1)f′(x)＝x＋lnx－1＝lnx＋x， xf′(x)＝xlnx＋1， 题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a. 1 令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝x－1. 当0 综上，a的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1， 即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0， 当0 f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1) 1 ＝lnx＋x(lnx＋x－1) 11 ＝lnx－x(lnx－x＋1)≥0. 所以(x－1)f(x)≥0.