图3-4-4
A．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2
B．a3＞a2＞a1 D．a1＞a2＞a3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝
Mm1R＋h1
2
2
＝m1a1，即a1＝
GMR＋h1
2
，对于东方红二号，有GMm2R＋h2
2
＝m2a2，即a2
GMR＋h2
，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东
2
方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ωr，故
a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。
2．(多选)我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：选BC “中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s，A错。其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B正确。其运行周期为2π
24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝知，其运行角速度比月球大，C正确。同
T步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a＝rω知，同步卫星的向心加速度大，D错。
3．(多选)在圆轨道上质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地球表面的重力加速度为g，则( )
A．卫星运动的线速度为2Rg B．卫星运动的周期为4π 1
C．卫星的向心加速度为g
21
D．卫星的角速度为
2
2R 2
gg 2R
5
解析：选BD 对卫星，万有引力提供向心力，有G＝2。v＝ MmRv2
。在地球的表面又有g2＝m2R2RGMRGM＝2RgR2
2π×2R42πR，A错误。卫星的周期T＝＝＝4π
vgRg，B正确。
v2v2g2π1
卫星的向心加速度a＝＝＝，C错误。卫星的角速度ω＝＝ r2R4T2
对宇宙速度的理解
1．第一宇宙速度 (1)推导
g，D正确。 2R对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s，则
(2)决定因素 由第一宇宙速度的计算式v＝ 2
GM可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第R一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关。
(3)理解 ①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径
Mmv2最小，由G2＝m可得v＝ rrGM，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地r卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
2．发射速度与运行速度的对比
(1)三种宇宙速度都是指卫星的发射速度，而不是在轨道上的运行速度。
(2)人造地球卫星的发射速度与运行速度的大小关系：v运行≤7.9 km/s≤v发射<11.2 km/s。
[典例] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
6
A．3.5 km/s C．17.7 km/s
B．5.0 km/s D．35.2 km/s
[思路点拨] 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力。计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法。而近地卫星的速度就是第一宇宙速度(7.9 km/s)。
GMmv2
[解析] 根据题设条件可知：M地＝10 M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力2＝m，
RR可得v＝
GMv火
，即＝Rv地M火R地
＝M地R火1
，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，所以5
航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，选项A正确。
[答案] A
第一宇宙速度v＝
GM＝gR，也可应用于其他星体，只不过公式中的M、R、g应为R相应天体的质量、半径和表面重力加速度。
1
1．一探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，
811
月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运
4行的速率约为( )
A．0.4 km/s C．11 km/s
B．1.8 km/s D．36 km/s
解析：选B 对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动所
Mmv2
需向心力，即G2＝m，所以v＝
rrGM。第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近r地卫星的环绕速度。对于地球的近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径，探月卫星绕月飞行的轨道半径约等于月球半径，所以v月
＝v地M月·r地
＝M地·r月42
＝，所以v819
月
2＝v9
地
2＝9
×7.9 km/s≈1.8 km/s。故正确答案为B。
2．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落点之间的距离为3L。已知两落点在同一水平面上，该星球的质量为M，引力常量为G。求该星球的第一宇宙速度。
解析：设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得(如图所示)：
7
L2＝h2＋(vt)2
依图可得：(3L)＝h＋(2vt) 12
又h＝gt，
2
23L解方程组得g＝2。
3t根据万有引力等于重力得，mg＝G2 2
2
2
MmR解得R＝
GM＝ g3GMt。 2L2
v2
根据mg＝m
R423GML解得第一宇宙速度v＝gR＝。 23t423GML答案： 23t卫星变轨问题
Mmv2
1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G2＝m。
rr2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
Mmv2
(1)当卫星的速度突然增加时，G2 rr运动。 Mmv2 (2)当卫星的速度突然减小时，G2>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近 rr心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。 3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。 4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。 1.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 8