专题16任意角和弧度制及任意角的三
角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.
(2)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式
l|α|＝(弧长用l表示) r①1°＝180?π rad；②1 rad＝? ?π?°180弧长l＝|α|r 11S＝lr＝|α|r2 22
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α Ⅰ 各象Ⅱ 限符Ⅲ 号 Ⅳ － ＋ － － － ＋ ＋ － － ＋ x叫做α的余弦，记作cos α ＋ y叫做α的正x切，记作tan α ＋ 三角函 数线 有向线段MP为正弦线
高频考点一 角的概念及其集合表示
α
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是( )
2A.第一象限角 C.第一或第三象限角
B.第二象限角 D.第二或第四象限角
有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 (2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角， π
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， 2παπ
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 422α
当k为偶数时，是第一象限角；
2α
当k为奇数时，是第三象限角.
2
【方法规律】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
α
(2)确定kα，(k∈N＋)的终边位置的方法
k
α
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定
kα
kα或的终边所在位置.
k
【变式探究】
kk????
(1)设集合M＝?x|x＝22180°＋45°，k∈Z?，N＝?x|x＝42180°＋45°，k∈Z?，那么( )
?
?
?
?
A.M＝N C.N?M (2)集合?α|kπ＋
??
B.M?N D.M∩N＝?
?ππ
≤α≤kπ＋，k∈Z?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 42?
k??
解析 (1)法一 由于M＝?x|x＝22180°＋45°，k∈Z?＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
?
?
k??
N＝?x|x＝42180°＋45°，k∈Z?＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，
?
?
显然有M?N，故选B.
k
法二 由于M中，x＝2180°＋45°＝k290°＋45°＝(2k＋1)245°，2k＋1是奇数；
2
k
而N中，x＝2180°＋45°＝k245°＋45°＝(k＋1)245°，k＋1是整数，因此必有M?N，故选
4B.
(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ππππ
≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样； 4242
5π3π5π3π
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一
4242样，故选C.
答案 (1)B (2)C
高频考点二 弧度制的应用
【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【方法规律】应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【变式探究】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 ππ
α＝90°＝，R＝10，l＝310＝5π(cm)，
2211
S弓＝S扇－S△＝35π310－3102＝25π－50(cm2).
22(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR， C
∴R＝，
2＋α
C?2121?∴S扇＝α2R＝α22＋α
22??
C2α1C21C2
＝2＝2≤.
24164＋4α＋α22
4＋α＋
α