详解：设从而可以求得黑色部分的面积为其余部分的面积为
的面积为
，则有
，
，
，所以有
，
，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果. 11.【答案】B
【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到根据直角三角形的条件，可以确定直线求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为联立，求得
的倾斜角为
或
，
，根据相关图形的对称性，得知两种情况
，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程
的值.
，
，利用两点间距离同时求得
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为从而得到
，所以直线
，且右焦点为
或
，
的倾斜角为
， ， 联立，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为可以得出直线
的方程为
和，
分别与两条渐近线求得
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线
的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方
程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 12.【答案】A
【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需
理科数学试题 第9页（共17页）
与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体平面所以平面同理平面
与线
中，
所成的角是相等的，
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
与
中间的，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为
，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 二、填空题 13.【答案】6
【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线
，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线
，过B点
时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由画出直线
可得
，
，将其上下移动，
结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值， 由此时
，解得
，
，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从
理科数学试题 第10页（共17页）
而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 14.【答案】
，类比着写出，结合
的关系，求得
，两式相减，整理得到
，
【解析】分析：首先根据题中所给的从而确定出数列式求得的值. 详解：根据两式相减得当
时，
，可得
，即，解得
， ，
为等比数列，再令
，之后应用等比数列的求和公
，
所以数列所以
是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
，故答案是
.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
，求得数列
的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 15. 【答案】16
【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有从6名学生中任意选3人有
种选法，
种选法，
种，故答案是16.
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 16.【答案】
，从而确定出函数的单调区间，
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得
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减区间为，增区间为
代入求得函数的最小值.
，确定出函数的最小值点，从而求得
详解：所以当
时函数单调减，当
时函数单调增，
，
，
时，函数
，
，故答案是
.
取得最小值，
，
从而得到函数的减区间为函数的增区间为所以当此时所以
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题
17．【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到角的范围，利用同角三角函数关系式，求得(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得所满足的关系，从而求得结果. 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得
由题设知，
BDAB. ?sin?Asin?ADB，根据题设条件，求得
； ，之后在
，结合
中，用余弦定理得到
252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB
由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223. ?255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得
2. 5
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