分比”和“百分率”有什么不同？“成数”、“千分数”、ppm、bpm各指什么？
【百分数】 【百分比】 【百分率】 表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。
百分数实质上是一个分母是100、分子是整数或小数的分数。如分母是100的分数通常写成71%、2.25%。1%即
712.25、等。这些用于特定场合的、1001001是百分数的单位。在20世纪50年代前，百分数有时也100被定义为分母是100的分数。这样的定义不能突出它用来表示两个数（或两个同类量）的倍比关系的专门用途。
百分数与分数的区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以用来表示具体的数量。而百分数只用于表示两个数量的倍比关系。
与“百分数”类似的还有“成数”、“千分数”，ppm和bpm。
【成数】 农业的收成或其增减常用“成数”表示。“几成”就是十分之几。如江苏省城镇居民的收入2005年比2001年增长6成7，即增长
6.7，也就是67%。 1037记为37?。1000【千分数】 表示一个数是另一个数的千分之几的数叫做千分数。如“千分之三十七”即千分数的单位是千分之一，即1?。
【ppm和bpm】 在科学技术上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm）和“十亿分之一”（即bpm）。
A1—25 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？
【自然数大小的基数意义】 每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。（参看本书P. 1 ）。
设A、B是两个有限集，a、b是它们的基数，即
a?A，b?B
则自然数a、b的大小可作如下规定：如果有集合A'?'''A，并且~B即A有一个真子集和B等价，则a＞b；A??如果有集合B?B,A~B（即B有一个真子集和A等价），则a＜b；如果A~B，则a=b。因为空集是任何一个非空有限集的真子集，所以空集的基数0小于任何一个非空有限集的基数（即零小于任何一个零以外的自然数）。小学教科书在解释两个数的大小的意义时，和上面的定 义实质上是一致的。如下图所示。
☆ ☆ ☆ ☆
┆ ┆ ┆ ┆ ☆ 和 ★ 同样多。 ★ ★ ★ ★
4 = 4 读作：4等于4 ┆ 等号
○ ○ ○ ○ ○ ┆ ┆ ┆ ● ● ●
○ 比 ● 多。 ● 比 ○ 少。
5＞3 读作：5大于3。 3＜5读作：3小于5。 ┆ ┆ 大于号 小于号
【自然数大小的序数意义】 在自然数的序数理论中，自然数的大小是根据它们在自然数列中的前后位置来定义的。
根据皮安诺公理②，“0不是任何其它自然数的继数。”（参看本书P.2）。所以0应该排在自然数列的最前面，是所有自然数中最小的一个。
根据皮安诺公理③，“每一个自然数a都有一个继数”，（参看本书P.2），所以对于自然数列中的任何一个数来说，都有比它大的自然数。进而推出：自然数没有最大的；自然数列是无限的。
自然数大小的以上两种意义虽然说法不同，但实质上是不矛盾的。
A1—26 为什么0是最小的自然数，但不是最小的一位数？
“0是最小的自然数”是根据皮安诺公理②“0不是任何其它自然数的继数”推出的结论。（参看本书P.2），也可以根据“空集是任何一个非空有限集的真子集”推出。
但由于0不是一位数（参看本书P.12），所以也就不可能是最小的一位数。
A1—27 怎样构造最小的（或最大的）一位数，两位数，三位数，…，n位数？
在一位数1，2，?，9中，显然，最小的是1，最大的是9。
两位数有两个有效数字，有效数字的最高位是十位。当十位是“1”，个位是“0”时，两位数最小；当个位与十位都是“9”时两位数最大。即两位数中最小的是10，最大的是99。
从两位数在自然数列中的排列
10，11，12，?，99
也可以看出：在两位数中，最小是10，最大的是99。
同理，三位数的有效数字的最高位是百位。当百位是“1”，十位与个位都是“0”时三位数最小，当百位、十位与个位都是“9”时三位数最大。以下类推。
一般地说，在n位数中，最小的是10在这些数之间还存在下面的关系：
最小的n位数=最大的n－1位数＋1 最大的n位数=最小的n＋1位数－1
n?1，即100?0；最大的是10?1，即99?9。 ??????n?1个\n个\9\nA1—28 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较后，只适用于有限小数，不适用于无限小数？0.59＜0.6对吗？
【多位数大小的比较】 多位数大小的比较法则如下： （1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；
（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；
?
如果最高位上的数又相同，则第二位数（即次高位上的数）较大的数较大。?? （以下类推）
（3）如果两个多位数的位数相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。如下表所示：
位数不同——（1）
比位数
位数相同，比 不等——（2）
最高位上的数 相等，比次 不等——（2）
高位上的数 不等——（2） 相等…… 相等——（3） 这是经过有限次操作就能执行完毕的程序。
【有限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则可以推广，用于比较两个有限小数的大小。 （1）如果两个有限小数的整数部分不等，则整数部分较大的有限小数较大；
（2）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数。十分位上的数较大的有限小数较大；如果十分位上的数也相等，则比百分位上的数，百分位上的数较大的有限小数较大；??（以下类推）
（3）如果两个有限小数的整数部分相等，并且小数部分各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个有限小数相等。如下表：
不等——（1）
比整数部分 不等——（2）
相等，比十 不等——（2）
分位上的数 相等，比百 不等——（2） 分位上的数 相等……
相等——（3）
【无限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则推广到小数后，不适用于某些无限小数的大小比较。如根据循环小数化分数的法则：
?
0.59?59?5?0.6 90?但运用上述有限小数的大小比较法则，则得如下错误结果：
0.59＜0.6
这就说明：有限小数的大小比较法则不适用于无限小数。