并且只含有同一级运算的算式，从左到或依次计算”。
这就是说，（36+88）+64中的括号可以省去。也就是说，对于36+88+64应该理解为（36+88）+64。因此，在算式“36+88+64”中，与64相加的并不是88，而是36+88的和。因为88与64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。上面的等式可以证明如下：
（36+88）+64=36+（88+64） ??加法结合律
=36+（64+88） ??加法交换律 =（36+64）+88 ??加法结合律
或者，这样证明：
（36+88）+64=64+（36+88） ??加法交换律
=（64+36）+88 ??加法结合律 =（36+64）+88 ??加法交换律
A2—8 整数加减法、小数加减法以及分数加减法有什么相同点和不同点？（蒋宝红）
整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过计算法则的理论依据又是相同的：计数单位或分数单位相同的数才能直接相加（减），所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐。分母不同的分数加减时要先通分，使分数单位相同。
A2—9 乘法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的意义有什么不同？
【自然数的基数理论中乘法的定义】
因为自然数的加法适合结合律，所以任意b个a相加的结果与添加括号的方式无关，其唯一的结果记为
d?a?a???a?ab
b个a
称作a与b的积，记作“a×b”或“a·b”或“ab”读作“a乘以b”或“b乘a”。求积的运算叫做自然数的乘法。
在a×b中，a叫做被乘数，b叫乘数。被乘数与乘数也叫积的因数。“×”或“·”叫做乘号。对于数与字母或者字母与字母的乘法，乘号可以省略。
可以证明：自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
通过补充规定a×0=0、a×1=a可以将上述乘法的定义推广到乘数是0或1的场合。 【自然数的序数理论中乘法的定义】
在自然数的序数理论中，乘法可以用求继数的运算“S”与加法“+”为基础，借助如下递推式来定义：
?a?0?0 ??a?Sb?a?b?a这样，我们就自然有a?0?0和
a?1?a?S0?a?0?a?a
【小学数学课本中乘法的意义】
有现行的小学数学教科书中，小学生先从教材创设的情境中，抽取出“几个几”的数量问题。然后列连加算式解决，继而将相同加数的连加算式改写成较为简短的乘法算式，引进新的运算“乘法”。用这样的方式解释“乘法”的意义，把“乘法”描述为“求几个相同加数的和的简便计算”，与基数理论中乘法的定义相同。
【不区分“被乘数”与“乘数”导致的后果】
对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异： （1）“几个几”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。如 3个2的和 2＋2＋2=6 2×3=6 2个3的和 3＋3=6 3×2=6
但是，基础理论中“几个几”的求和问题与乘法算式的一一对应被破坏，相同加数的加法算式与乘法算式的一一对应也被破坏。
“3个2的和”，2＋2＋2=6 2×3=6
“2个3的和”：3＋3=6 3×2=6
损害了乘法定义应有的精确性。
（2）在基础理论的乘法定义中，“被乘数”与“乘数”既有各自的不同名称，又有它们共同的名称“积的因数”。在现行的小学数学中，不再区分被乘数与乘数。也就是在
a＋a＋?＋a
b个a
中不区分“相同的加数”与“相同加数的个数”。这样做不仅破坏了上述一一对应关系，而且使“a×b”与“b
×a”意义上的差异模糊不清。于是乘法交换律
a×b= b×a
将如同“a=a”失去原有的意义要性。
小学数学教科书在数学基础知识上的“变动”应该经过权威数学家群体的认可。数学名词的含义的“变动”，必须经过中国科学院数学名词委员会的同意。
A2—10 “4×7×250=4×250×7”是根据乘法交换律吗？
【根据乘法交换律推理】
只根据乘法交换律推不出4×7×250=4×250×7。因为在等号两边的算式中，7与250都不是“相乘的两个数”。为了证明这个等式，还需要运用乘法结合律。正确的推导过程如下：
（4×7）×250= 4×（7×250）???? 乘法结合律 = 4×（250×7）???? 乘法交换律 =（4×250）×7???? 乘法结合律 或者
（4×7）×250= 250×（4×7）???? 乘法交换律
=（250×4）×7???? 乘法结合律 =（4×250）×7???? 乘法交换律
或者
（4×7）×250=（7×4）×250???? 乘法交换律
=7×（4×250）???? 乘法结合律 =（4×250）×7???? 乘法交换律
应该强调：在乘法交换律中，可以交换位置而不改变积的大不的只能是“相乘的两个数”。根据乘法交换律推理时，必须首先确认交换位置的两个数是不是相乘的两个数。训练学生推理，一开始就要养成严格推理的依据思考、不能有丝毫含糊的习惯。否则，培养学生的理性思维和逻辑推理能力的要求就会大打折扣。
【乘法交换律与结合律的推论】
“几个数相乘，可以将其中的任何两个因数交换，或者任何几个因数结合起来先乘”，这是根据乘法交换律与结合律得出的推论，而不是乘法交换律或乘法结合律本身。
A2—11 做分数乘法时，“先约分、后相乘”的根据是什么？
做分数乘法时，常常“先约分、后相乘”。如
5
在这里，为什么25与15可以约分呢？约分的理论依据是“分数的基本性质——一个分数的分子与分母都乘以（或者都除以）同一个不为零的数，分数的大小不变”。而这里的25与15并不是同一个分数的分子与分母，为什么它们可以都除以5呢？
关于这种演算的合理性可以这样理解：
2156?? 2517853
5
即演算时省略了根据分数乘法法则写出的两个分数的积。根据这个法则，两个分数相乘的积是一个分数，25与15的公约数5就是这个积的分母与分子的公约数，当然可以把它“约去”。
【对角约分】
两个数相乘，一个分数的分母与另一个分数的分子约分，通常被称为“对角约分”。对角约分的合理性还可以这样认识：
215?2?15?6?=??= 2517?25?17?853
215?26??151?23????5???????? 2517?25??175?51785即两个数相乘时，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
A2—12 为什么在分数的乘法运算中，要先把带分数化成假分数？
【分数乘法的法则】
两个分数相乘，以分子的积作为积的分子；以分母的积作为积的分母。即
acac?? bdbd这个法则适用于任何两个分数相乘。但不能直接用于带分数。因为“带分数是一个自然数与一个真分数合并而成的数”。实质上是一个自然数与一个真分数的和。严格地说，它是一个式（两个数相加的和式），而不是一个数。当然也就不是一个分数。因此，分数乘法法则不能直接用于带分数是顺理成章的。在做分数乘法时，