《小学数学疑难问题研究》
第一章 有关“数与代数”的疑难问题
第一节 数的认识与大小比较
A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
【自然数】 “数”（shù）起源于数（shǔ），一个、一个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数的数
一，二，三，??
就叫自然数。零表示没有东西可数，零也是一个自然数。“一”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。
【自然数的产生】 自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。首先，产生的是“有”、“无”的概念。原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。然后，“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇到“同样多”的物体集合（即等价集合）。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“耳”就演化为“二”。自然数“二”的概念就这样产生了。（图1—1）
有、无 多、少 用具体集合来表示一类等价集合的共同性质（如“耳”） 脱离具体集合，出现专门名词（如“二”） 图1—1
表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。
【弗莱格—罗素的自然数定义】 1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格（F.L.G.Frege 1848—1925）
在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。直至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell 1872—1970）重新给出这个定义。在他们作出的被后人称之为“弗莱格—罗素的自然数定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集。” 能和有限集A建立一一对应的（即和A等价的）所有集组成的集称为“集A的基数”。记为A。即
A={B│B~A}
其中，~表示集的等价关系。为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点：“它们都是五个”。“五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成自然数“五”的概念。可见，小学生对自然数的基数意义的 认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。
【皮亚诺公理】 为了建立自然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺（G .Peano 1858—1932）在1891年给出了关于自然数的五条公理：
①0是一个自然数。
②0不是任何其它自然数的继数。 ③每一个自然数a都有一个继数。
④如果自然数a与b的继数相等，则a、b也相等。
⑤（数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包含0，并且当S包含某一个自然数a时，它一定也含有a的继数，那么S就包含全体自然数。
皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标志着数学分析算术化运动的终结。 参考书
[1]《中国大百科全书 数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220；321—322；
461；510。
[2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。
[3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。
A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？
【基数】 当自然数0，1，2，??用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”这里的“5”就是基数。
【序数】 当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。
上体育课时排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，那么这个“35”既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。
在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（即上下文）来判定。
A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？
【正整数】 一个、一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，??也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称自然数。
【负整数】 为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如“盈利5元”用“+5元”表示，“亏损5元”就用“－5元”表示。
这种在一个数前添加的表示它的“正”、“负”的符号叫做“性质符号”。添加了性质符号“+”或“－”的数分别称为“正数”与“负数”。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“－”的正整数叫做负整数。
【整数】 正整数、零与负整数统称“整数”。（如图1-2）
负整数 正整数 正整数 ??，－3，－2，－1，0，+1，+2，+3，?? 整数 零
自然数 负整数
整数
图1—2
自然数
【皮亚诺的整数系】 皮亚诺在构造了自然数系的公理后，又构造了整数系。 首先，用自然数偶（m，n）表示整数： 用（m+n，m）表示正整数n； 用(m，m)表示数0；
用（m，m+n）表示负整数－n。
第二步，定义数偶的加法、乘法与大小关系：
（m,n）+(k,l)=(m+k,n+l); (m,n) · (k,l)=(mk+nl,ml+nk); (m,n)＜(k,l)当且仅当m+l＜n+k.
可以证明：经过这样定义的整数集满足加法与乘法的结合律、交换律和乘法对加法的分配律。它包含有数0，对任何整数n，有
0+n=n
还包含了单位元素1，对任何整数n，有
1·n=n
对于任何整数m、n，方程m+x=n总有唯一解。并且整数集关于“＜”构成一个有序集。
参考书
《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—309。
A1—4 为什么以前规定“零不是自然数”，现在又规定“零是自然数”？
1891年，意大利数学家G·皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的第一个公理就是“0是一个自然数”。可见，在欧美各国的学术界，这样的观点处于主导地位。
1949年中华人民共和国成立后，欧美的一些主要国家联合起来，对我国实行经济封锁。导致我国与原苏联订立“中苏友好互助同盟条约”，并且提出“向苏联学习”的口号。许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本编译的。M·K格列本卡著高等学校教学用书。《算术》P6中明确指出：数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树上一只苹果也没有。这时我们就说这棵树上的苹果数目为零。零就是没有东西可数。零作为一个数，不属于自然数。
于是，“零不是自然数”的判断在中小学数学课程中广为传播。
20世纪80年代以来，为了实行对外开放，便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-29）第311页，规定：自然数包括零。随后，在进行中小学数学教材的修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0，1，2，3，?｝。而将原自然数集称为非零自然数集
N+（或N*）=｛1，2，3，?｝
自然数集扩充后，自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之发生变化，如自然数加法与乘法的定义中要去掉原有的“非空”二字，对于与自然数有关的命题的论证，应随自然数扩充后作相应调整。如数学归纳法证明的步骤应是：
1°验证n=0时，命题成立；
2°假设n=k－1时命题成立，证明n=k时命题仍然成立。 从而与G·皮亚诺1891年给出的关于自然数的公理⑤一致。
科学概念的定义，它的内涵与外延的明确界定，本来就是一种人为的规定。它可以随着科学、技术的发展而由权威科学家的群体重新定义。不久前，天文学家对“行星”的重新定义使得冥王星不再是我们这个太阳系的九大行星之一。
【自然数的分类】 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也将发生变化（如图1—3）：
0，1 约数 合数 自然数
质数（有且只有2个约数） 合数（有3个或3个以上的约数） 1（只有1个约数）
0（0以外的任何数都是它的约数）
自然数
参考书
图1-3
高等学校教学用书《算术》，M·K·格列来卡著，商务印书馆，1957年4月5日版
A1—5 “自然数集”、“自然数列”和“扩大的自然数列”有哪些区别和联系？自然数列
有哪些基本性质？
【自然数集】 所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。
【集合概念】与【非集合概念】“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。
作为练习，试区分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念： （1）到A、B两点距离相等的点； （2）到A、B两点距离相等的点的轨迹； （3）中国数学家； （4）中国数学协会。
【自然数列】 将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列，
0，1，2，3，?
这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”和“自然数集”都必须包括所有的自然数，但它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的顺序，如0，2，1，3，??，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。
【自然数列的性质】 自然数列有以下性质：
（1）有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其它自然数的继数；
（2）有序。每一个自然数都有且只有一个继数；除了0，每个自然数都有且只有一个先行的数； （3）无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的（或者说最大的）自然数。
【扩大的自然数列】 这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把
1，2，3，??
叫做“自然数列”。而将
0，1，2，3，??
称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。
A1—6 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”、“读数”各指什么？什么是计数的基本原理？为什么我们的计数制和记数制都是十进制？
【计数（count）】【数数】 “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非负自然数列里的数1，2，3，??建立一一对应的过程。
【计数原理（counting principle）】 计数的基本原理如下： 只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。
【十进制计数法】 计数时，可以一个，一个地数，也可以几个、几个地数。如二个、二个地数；五个、五个地数；十个、十个地数等。二、五、十等都是计数单位。用一（个）、十、百、千、万、??等作为计数单位的计数方法叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的单位。
实际运用十进制计数法时，要从尽可能大的计数单位数起。如数一盘草莓，先十个、十个地数，剩下不足十个时，再一个、一个地数。最后弄清这盘草莓的个数是几个十、几个一。（这里的“几”应该是不大于9的自然数。）运用十进制计数法，我们就可以弄清一个自然数N是由几个一、几个十、几个百、几个千、??组成的。这里的“几”都是不大于9的自然数。用符号表示就是
N?a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an，
其中，0＜a0≤9，0≤a1，?，an≤9。
【记数】【写数】 “记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。
【十进制记数法】 当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进位记数制用数字符号0，1，2，?，9把这个数记录下来。
由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用
0，1，2，?，9
分别表示自然数列里的前十个数。其它自然数则用这些数字按“位值原则”表示出来。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个（0以外的）数字在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。
在所记的数里，从右向左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，??。个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百，??。如果一个数是由八个百、三个十和五个一组成的。就把它写作835。一般地，如果一个自然数
N?a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an，
其中，0＜a0≤9，0≤a1，?，an≤9。则此自然数就写作a0a1a2?an?1an。因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制记数法。
A1—7 “数”和“数字”的区别和联系是什么？
【数字（numerals）】用来记数的符号叫做“数字”。
数和数字是两个不同的概念。数或为单数、或为双数，或为质数、或为合数。数字或为罗马数字、或为阿拉伯数字，或为手写的数字、或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。
中国是世界上的文明古国之一。用文字记数在我国已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制记数法”是一致的。
A1—8 说“43”是数而不是数字对吗？
表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是一个数字。是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。此外，在许多上下文中，43也确实可以表示一个数，由四个十与三个一组成的数。
另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。
总之，“43”既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。
A1—9 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？
【数的组成】 我们在引导学生认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。可以先用计数单位“百”一百、一百地数。剩下的不足一百个时，再用计数单位“十”十个、十个地数。最后，如果剩下的不足十个，再一个、一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。
【数的名称】 每一个自然数的名称都是根据它的组成规定的。为此，制定了根据自然数的组成来为它命名的规则。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1，2，?，9来表示一个自然数的规则（“写数规则”），也就是“十进制记数法”。
所谓“读”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数用自然语言和用符号语言的两种表述之间的相互改写。如图（1—4）所示：
命名规则 数 数的组成
十进制计数法
写数规则
（十进制记数法）
图1—4
数的名称 读 写
数的符号
总之，数的组成是用十进制计数法计数的结果，数的组成是给这个数命名的依据，也是用数字符号表示这个数的依据。因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。
A1—10 “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？
【进位制】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”，十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别是这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。
运用十进制计数法，我们可以将任何一个自然数N 表为
a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an
其中，0＜a0≤9；0≤a1，?，an≤9。
运用二进制计数法，可将自然数表为
a0?2n?a1?2n?1?a2?2n?2???an?1?2?an
其中，a0=1，0≤a1，?，an≤1。
可见，十进制和二进制都可以将一个自然数分解为不同底数的幂的和。
在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，?，9按照位值计数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个不同的数字0，1就能表示任何自然数。表示自然数列中前几个数的二进制数字与十进制数字的对应关系如下表：
十进制数 二进制数 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 ? ? 因此，作为记数法，他们运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数时，所需数位的个数也不同。
A1—11 “精确数”和“近似数”、“相对误差”和“绝对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？什么是科学记数法？（李同贤）
【准确数与近似数】 在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这些数叫准确数，如某校的数学教师有15人、6×1.2=7.2等等，但在生产、生活和计算中得到的某些数，往往只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市人口有75万，”75万就是一个近似数。因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数。在计算圆周长的公式里，圆周率?可以用3.14代入计算，3.14也是?的近似数。
可见，准确数与近似数主要区别在于是否与实际情况完全相符。
【不足近似值与过剩近似值】 小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值，叫过剩近似值。例如，3.14、3.142分别是圆周率?的不足近似值和过剩近似值。
【误差、绝对误差和相对误差】 准确数A与它的近似值a之差A－a叫做这个近似数的误差，误差的绝对值A?a叫绝对误差。
近似数的绝对误差除以准确数的绝对值所得的商叫做这个近似数的相对误差。
实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数的绝对值代替准确数的绝对值来 计算相对误差。
例如，甲、乙两人量边长为1米的正方形的对角线的长度。甲量得的结果是1.41米，乙量得的结果是1.42米。则两人的测量结果的绝对误差分别是：
2?1.41?0.0042?0.0042（米）； 2?1.42??0.0058?0.0058（米）
相对误差分别是：
0.00420.0058?0.30%和?0.41%
1.41421.4142绝对误差一般用来比较同一个数量的两个不同近似数的精确度，而相对误差则往往用来比较两个不同数量的近似数的精确度。
【有效数字与可靠数字】 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。
例如，取?≈3.14，因为??3.14＜0.01÷2，所以圆周率的近似值3.14有三个有效数字；如果取?≈3.1416，则??3.1416＜0.0001÷2，所以近似值3.1416有5个有效数字。
一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫这个近似数的可靠数字。
1、用四舍五入法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是有效数字。也都是可靠数字。
2、用进一法或去尾法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位止，所有的数字都是可靠数字。在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。
【科学计数法】 当近似数是整十、整百、整千、??的数时，如果不加说明，我们就无法确定它们的有效数字和可靠数字。例如，近似数5700，如无说明，我们就不能确定它是用什么方法截取到那个数位得到的，它可能是精确数5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，如果是前一种情况，那么它有两个有效数字（5、7），如果是后一种情况，那么它有三个有效数字（5、7、0），如果它是某个精确数用四舍五入法保留到个位得来的。那么它就有四个有效数字（5、7、0、0）。
为了解决上述矛盾，我们规定：当一个近似数a是整十、整百、整千、??的数时，就把他写成a?a?10'''k的形式，其中a是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a＜10，k是正整数。例如用四舍五入法把
799.7分别截取到个位、十位、百位的近似数分别是：
精确到个位：799.7≈8.00×102，有3个有效数字； 精确到十位：799.7≈8.0×102，有2个有效数字； 精确到百位：799.7≈8×102，有1个有效数字。
又如，近似数3.6×106有两个有效数字，9.81×105有三个有效数字。
事实上，任何一个近似数都可以写成a?a?10的形式，其中a是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a＜10，k是整数，这种记数法叫做科学记数法。
参考书
[1] 《小学数学教材教法》第一册．人民教育出版社1994年12月第一版，P201、227． [2] 《中国中学教学百科全书》（数学卷），沈阳出版社，曹才翰主编．P14．
''k'A1—12 截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“四舍五入法”？
【四舍五入法】 在截取近似数时，通常规定：
·如果去掉的尾数中，最高位数是5或比5大，那么就在留下的数的最低位加一； ·如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。 像这样的截取近似数的方法，叫做四舍五入法。
如圆周率??3.14159265?，用四舍五入法截取两位小数的近似值时，得??3.14；截取四位小数的近似值时，得??3.1416。
【去尾法】 如果为截取近似数而去掉尾数时，不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数都不变，那么这样的截取近似数的方法叫做去尾法。
【进一法】 截取近似数时，如果不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数的最低位都加一，那么这样的截取近似数的方法叫做进一法。
在截取近似数的具体问题中，一般用四舍五入法。但有时要根据具体问题的不同情况运用去尾法或进一法。
例如，做一套服装要用4m布，50m布能做多少套服装。50÷4=12.5 ≈12（套）。在这里，因为服装的套数只能是自然数，所以商12.5必须用去尾法截取成自然数12。在这个问题中，用整数范围内的有余数除法50÷4=12??2更为合适。答案则是“能做12套，还余布料2m”。
又如，3840kg的粮食用每袋可装100kg的口袋来装，需要用多少口袋？3840÷100=38.4≈39（个），尽管最后只剩下了40kg粮食，还得用一个口袋来装。
截取近似数的以上三种方法的主要区别在于所得近似数的误差不同，列表说明如下：
截取的方法 四舍五入法 去 尾 法 进 一 法 所得近似数 3.14 3.14 3.14 原精确数的范围 3.1350?~3.1449? 3.1400?~3.1499? 3.1301?~3.1399? 近似数和原数的 绝对误差不超过 0.005 0.01 0.01 可见，用四舍五入法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用去尾法或进一法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。
A1—13 在截取一个数的近似数时，为什么不宜连续两次运用“四舍五入法”？
例如，要把724600四舍五入到万位，下面的两种做法得数为什么不同？ 方法一 724600≈720000 方法二 724600≈725000≈730000
方法一符合“四舍五入法”的操作规范的要求，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位。 方法二连续两次运用了“四舍五入”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600的四舍五入到万位的近似数，而是725000的四舍五入到万位的近似数。
因此，在实际操作中，不允许像上面那样对于一个数连续两次运用四舍五入法。
A1—14 “小数”概念如何定义和分类？
【小数】【十进分数】 把单位“1”平均分成10份、100份、1000份、??，这样的1份或几份，可以用分母是10、100、1000、??的分数来表示。如
17329、、、??。这种分母是10的正整数次幂101001000
的分数叫做十进分数。这些分数的单位分别是10。从
111、、、??，每两个相邻的单位间的进率都是1010010001到整数个位的计数单位1，进率也是10。所以这些分数可以仿照整数的写法，写在整数个位的右10面，并用小圆点“·”隔开，写成0.1、0.07、0.329、??。用这种形式写出的用来表示十分之几、百分之几、千分之几、??的数叫做小数。
【小数点】 在小数中，用来将个位与十分位隔开的小圆点叫做小数点。小数点左边的部分称为这个小数的整数部分；小数点右边的部分称为小数的小数部分。
小数的整数部分可以是0，也可以不是0。
【纯小数与带小数】 根据一个小数的整数部分是不是0可以把小数分为纯小数和带小数。如果小数的整数部分是0，那么这个小数就称为纯小数。如果小数的整数部分不是0，那么这个小数就称为带小数。
如0.1、0.07、0.329等都是纯小娄；1.5、3.14、12.06等都是带小数。
【有限小数与无限小数】 小数还可以根据它的小数部分的位数是不是有限分为有限小数和无限小数。小数部分的位数是有限的这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。
由十进分数改写成的小数都是有限小数。
103?0.33? ?0.272?7 311以及圆周率??3.14159265?等则是无限小数。
【无限循环小数和无限不循环小数】 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，有一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。（简称循环小数）如果在无限小数的小数部分中，没有依次不断重复出现的数字，那么这样的小数就叫无限不循环小数。如3.33??和0.2727??都是循环小数。圆周率3.14159265??就是一个无限不循环小数。
【循环节】 在循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 如3.33??的循环节是“3”，0.2727??的循环节是“27”。
为了简便，写循环小数时，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一个小圆点。如循环小数3.33??写作3.3，0.2727??写作0.27，6.2416416??写作6.2416.
【纯循环小数和混循环小数】 如果循环小数的循环节是从小数部分的第一位开始的，那么这种循环小数就叫纯循环小数。如果循环小数的循环节不是从小数部分的第一位开始的，就叫混循环小数。
?????
如3.3和0.27都是纯循环小数。6.2416则是混循环小数。
【小数的分类】 按照小数部分的位数是有限还是无限，可以把小数分为有限小数和无限小数。 按照无限小数的小数部分是否有一个或几个数字依次不断地重复出现，可以把无限小数分为（无限）循环小数和无限不循环小数。
按照循环小数的循环节是否从小数部分的第一位开始，又可以把循环小数分为纯循环小数和混循环小数。如下表所示。
有限小数 纯循环小数
小数
（无限）循环小数
无限小数 混循环小数 无限不循环小数
其中，有限小数就是十进分数以及分母不含2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数；循环小数是分母含有2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数。无限不循环小数就是无理数。
以上是根据小数的小数部分的不同特点所作的分类。此外，根据一个小数的整数部分是不是0，还可以把小数分为纯小数与带小数。
纯小数
小数 带小数
正的纯小数大于0而小于1，正的带小数大于1。
?????A1—15 整数、小数的计数单位有哪些？其中有没有最小的和最大的？为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？
在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位、??，它们的计数单位分别是一、十、百、千、万、??。10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万，??。最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。越是向左，数位越高，计数单位越大。每个数位上的10个单位，就是相邻高位上的一个单位。
在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位??，它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一，??。其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。它们也是十
进制的，即10个百分之一是1个十分之一，10个千分之一是1个百分之一，??。也是“满十进一”。
因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的个位的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来，如下表所示：
数位顺序表
数 位 计 数 单 位 千 ? 万 位 千 ? 万 百 万 位 百 万 整 数 部 分 十 万 位 十 万 万 千 百 十 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 小数点 十 小 数 部 分 百 分 位 百 分 之一 千 分 位 千 分 之 一 万 分 位 万 分 之 一 ? · 分 位 十 分 之 一 一（个） ? 数级 ? 万 级 个 级 A1—16 “一位数”、“两位数”、“三位数”、……与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”、……各是怎样定义的？为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1而不是0？
【一位数、两位数、三位数、……】 在非零自然数N*中，能用一个数字表示的叫一位数，能用两个数字表示的叫二位数，能用三个数字表示的叫三位数，??，以下类推。
因此，在十进位记数制中，一位数是指1，2，3，??，9；两位数是指10，11，12，??，99；三位数是指100，101，102，??999。以下类推。
以上是针对十进位记数制来说的。对于k进位记数制来说（k≠10），上述解释一位数、两位数、三位数、??的语句虽然仍然适用，但含意已有所变化。
【一位小数、两位小数、三位小数、……】 小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数，以下类推。
在十进制小数中，一位小数的末位是十分位，两位小数的末位是百分位，三位小数的末位是千分位，??。 在k进位记数制中，上述解释一位小数、两位小数、三位小数、??的语句仍然适用，但含意已有所变化。
【0不是一位数】 为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1，而不是0？
【有效数字】 实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位止的数字是这个自然数的有效数字。有效数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0也可以用000来表示。事实上，不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字。所以表示0的数码中没有一个有效数字。因此，0不是一位数。当然也不是两位数、三位数??。
不把0看作一位数，也是为了使一些数学规律得以成立。如关于常用对数的首数就有一个这样的定理：“常用对数的首数等于真数的整数位数减一。”所以lg50的首数是1；lg5的首数是0；lg0.5的首数是－1。如果把0看作一位数，那么lg0.5的首数岂不也是0吗？
由于0不是一位数，一位数只有1，2，3，?，9共九个，所以，最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0。
在二进制中，一位数只有一个，那就是1。 参考书
[1]高等学校教学用书《算术》， M．K．格列本卡著，商务印书馆1957年4月5版，P7。
A1—17 怎样认识“小数”与“分数”的关系？
小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现余数会出现相同的，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数
是无限的。于是导致“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。而分数化小数时，要末化为有限小数，要末化为（无限）循环小数。而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。
【无理数与有理数】 无限不循环小数被数学家称之为“无理数”。而整数与分数则统称为“有理数”；有理数与无理又统称为“实数”。这些数的关系如下表所示。
整数
有限小数 ……
小数 （无限）循环小数 ??分数 有理数 无限小数 实数 无限不循环小数 …… 无理数
对于发展以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数相当于“分数”。此外，还有一种无限不循环小数。因此，我们可以说“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念。“小数”与“分数”是属种关系。和前面的结论正好相反。但实际上两者并不矛盾。因为前面的结论中所说的“小数”仅仅指有限小数；后面的结论中所说的“小数”则包括了有限小数与无限小数。“分数”与“有限小数”的属种关系以及“小数”与“分数”的属种关系都可以从上面的表中清楚地看出。
A1—18 分数在现代数学中和在小学数学中的定义有什么不同？
古埃及人在公元前17世纪就已经使用分数。我国成书于1世纪的《九章算术》中已载有分数的各种运算。 分数的使用源于除法运算的需要。设p、q都是整数，q?0。则方程qx?p未必有整数解，为了使这个方程总是有解，有必要将整数集扩大成有理数集。
【分数在现代数学中的定义】 我们在整数的有序对（p,q）（q?0）的集合上定义如下等价关系： 设p1,p2?z,q1,q2?z\\{0}。如果p1q2?p2q1，则称(p1,q1)~(p2,q2),z?(z\\{0})关于这个等价关系的等价类称为有理数。（p,q）所在的有理数记为
p。 q
令整数p对应于（p，1）所在的等价类，即对应于习惯上表所示：
正整数
自然数
p，就能把整数集嵌入到有理数集中。 1p仍记为p。在有理数集中，整数以外的数称为分数。自然数、整数、分数与有理数的关系如下1 零 整数
负整数 有理数 分数
【分数在小学数学中的定义】 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 分数的一般形式是
pp。这里的p、q都是整数，并且q?0。当p、q都是正整数时，分数不仅可以看qq作把单位“1”平均分成q份，表示这样的p份的数。也可以看成把p个单位平均分成 q份表示这样的一份的数。
整数与分数统称为有理数。任何整数p都可以表示为
p的形式。 1对于有理数
ppp来说，如果p?0，=0；如果p?0，则当pq＞0时，称为正有理数；当pq＜0时，qqq称
p为负有理数。所以对于有理数，可以作出以下两种分类： q
正整数 正整数
零
负整数
有理数
有理数
整数 零 正有理数
负整数 正分数
正分数
分数
负分数
【两者的比较】 “分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。 在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数
pp的定义，其中，q≥2。整数p可以表示为，
1q不能说明“整数也是分数”。仅仅表示“整数是有理数”。因为所特有的表示形式。
参考书:《中国大百科全书 数学》 P374,603。
p并不是分数所特有的表示形式，而是有理数qA1—19 “因为3?系？
因为一个数可以表示为
6，所以3也是分数”对吗？整数是不是分数？整数和分数是什么关2pp（q≠0）的形式，就说这个数是分数，理由是不充分的。因为，其中p、qqq都是整数，并且q≠0，并不是分数所特有的表示形式，而是有理数特有的表示形式。整数可以表为这样的形式，只能说明整数是有理数。因此，根据
3?369???? 123只能得出“整数3是有理数”。不能得出“3是分数”的结论。
【整数是不是分数？】 有理数
p当q|p时是整数，当q| p时才是分数。（图1— ） q有理数 整数 有理数 分数
整数 分数 图1-5
【整数和分数是什么关系？】 可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的。并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延。所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。如图1-5所示。
参考书：《逻辑与小学数学教学》 P32。
A1—20 说“自然数1不同于单位1”对吗？任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型。哪些物体还可以作为分数定义中的单位“1”的现实原型？
【自然数的纯逻辑定义】 “1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。任何一个非零自然数都是由若干个“1”组合而成的。德国数学家弗雷格（F.L.G. Fregep.220 1848—1925）首创由逻辑出发来定义自然数时，首先把空集?定义为不与本身等同的事物组成的集：
??{x|x?x}
因为任何事物都等同于本身，所以，不与本身等同的事物是不存在的。空集就是由这类不存在的事物组成的集合。自然数0被定义为空集的基数，即与空集等价的一切集合组成的集：
0?{B|B~?}
所以，0是一个数。{0}是以0为元素的集合。自然数1被定义为与{0}等价的一切集合组成的集：
1?{B|B~{0}}
然后，在此基础上进一步定义自然数2，以及其它自然数：
2?{B|B~{0,1}} 3?{B|B~{0, 1, 2}}
【自然数作为有限集的共同性质的抽象】 小学数学教科书根据小学生的心理特点，把每一个自然数作为可以建立一一对应的有限集合的共同性质从中抽象概括出来。如自然数“5”就是从画面上的五位解放军、五匹战马、五支冲锋枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等事物集合中，作为它们的共同点——“都是5个”而抽象概括出来的。每一个自然数都可以作为对一类可以建立一一对应的有限集进行同一性抽象的结果。每一个这样的有限集，都是这个自然数的现实原型。
【说“自然数1不同于单位1”对吗？】 作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，也是“单位1”的现实原型。分数定义中所说的“单位1”，实质上就是“自然数1”。说“自然数1不同于单位1”是不对的。不过“自然数1”和分数定义中的“单位1”的现实原型仍然有一些不容忽视的差异。任何一个物体都可以作为“自然数1”的现实原型。但作为分数定义中的“单位1”的现实原型，应该受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块蛋糕的二分之一。但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。类此，一辆汽车也不能平均分为两份，但一辆汽车的价格可以由两人平均分摊。把一个班的学生平均分为几个小组受到全班人数的制约，平均分成的份数只能是全班人数的约数。
但现实原型的差异不能作为“自然数1”不同于“单位1”的理由。当我们把“单位1”平均分为两份，而用
1表示每一份后，自然有 211+=1 22我们能说：这个等式中的“1”是“单位1”、但不是“自然数1”吗？ 参考书：《中国大百科全书 数学》 P220
A1—21 说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”对吗？
分数可以按照不同的标准来分类。如按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数；分子与分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数（又称既约分数）。还可以按照分子是否小于分母分为真分数和假分数。分子小于分母的分数叫真分数；分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分数叫做假分数。
可约分数 真分数 分数 分数
最简分数 假分数
没有1以外的公约
否小于分母
根据分子与分母有
根据分子是
┆ ┆
在分数的后一种分类中，分类的结果应该是两个子项——真分数与假分数。它们的外延的和（即外延的并集）等同于分数的处延。因此，不应该再有其它的子项。因此，说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”是不对的。
此外，根据定义，“带分数”是“一个整数和一个真分数合成的数”。实际上是一个整数与一个真分数的和，而不是一个分数。怎能成为分数分类的一个子项呢？
A1—22 说“假分数的分子大于分母”错在哪里？
根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类：分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或者分子等于分母。这时，我们可以根据一个“分数是假分数”推出“它的分子大于分母或者分子等于分母”。但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。
正如根据ab=0 推不出a=0，也推出b=0，只能推出a=0或b=0。这样看来，说“假分数的分子大于分母”可能犯了“推不出”的逻辑错误。
此外，这样说也可能是由于对“假分数”的定义有误解，把假分数误认为是“分子大于分母的分数”，犯
了“定义过窄”的逻辑错误。
根据现代数学对分数所下的定义，有理数
pp当q|p时是整数；q p时是分数。因此p?q时，=1qq是整数；p＞q时，q p时才是分数。所以说“假分数的分子大于分母”还是正确的。
A1—23 “分数单位”和“单位分数”、“最简分数”和“既约分数”有没有区别？（李同贤）
【分数单位】 分数
p11p1是由p个组成的，叫做的分数单位，分数单位的实际含义就是把单位qqqqq41111 的单位是，而的单位是，因此，分数单位不是7766“1”平均分成q份中的一份。
分数的分母不同，分数单位也就不同。例如，一个固定的数，分母越大，分数单位就越小。
最大的分数单位是
11111，比小的分数单位有,,,??，没有最小的分数单位。 22345【单位分数】 每个分数单位本身也是一个分数，这些分子是1分母是正整数的分数，也叫单位分数。 【最简分数】【既约分数】 分子与分母互质的分数叫最简分数，也叫既约分数。“最简”是从化简的角度提出的要求，“既约”是从约分的角度给出的标准。分数要化简，分子、分母就得约分，分子、分母约分的目的是化简分数。两者最终统一到“分子与分母互质”这一点上。
有人建议把“最简分数”的定义修改为“分子、分母是互质数、并且分子小于分母的分数”。
最简分数的概念是为约分提供最终结果的标准，按修改后的定义，约分后最终结果出现假分数时就必须化为带分数，而带分数不便于进行分数的乘除运算。
从理论上讲，带分数指的是一个自然数与一个真分数的和，在进一步学习数学和其他科学技术时并不是必不可少的，国内外有些小学数学教科书甚至根本就不给出带分数的概念。因此，最简分数的定义还是表述为“分子与分母互质的分数叫最简分数”为宜。
A1—24 百分数是不是一种数？“百分数就是分母是100的分数”对吗？“百分数”、“百
分比”和“百分率”有什么不同？“成数”、“千分数”、ppm、bpm各指什么？
【百分数】 【百分比】 【百分率】 表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。
百分数实质上是一个分母是100、分子是整数或小数的分数。如分母是100的分数通常写成71%、2.25%。1%即
712.25、等。这些用于特定场合的、1001001是百分数的单位。在20世纪50年代前，百分数有时也100被定义为分母是100的分数。这样的定义不能突出它用来表示两个数（或两个同类量）的倍比关系的专门用途。
百分数与分数的区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以用来表示具体的数量。而百分数只用于表示两个数量的倍比关系。
与“百分数”类似的还有“成数”、“千分数”，ppm和bpm。
【成数】 农业的收成或其增减常用“成数”表示。“几成”就是十分之几。如江苏省城镇居民的收入2005年比2001年增长6成7，即增长
6.7，也就是67%。 1037记为37?。1000【千分数】 表示一个数是另一个数的千分之几的数叫做千分数。如“千分之三十七”即千分数的单位是千分之一，即1?。
【ppm和bpm】 在科学技术上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm）和“十亿分之一”（即bpm）。
A1—25 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？
【自然数大小的基数意义】 每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。（参看本书P. 1 ）。
设A、B是两个有限集，a、b是它们的基数，即
a?A，b?B
则自然数a、b的大小可作如下规定：如果有集合A'?'''A，并且~B即A有一个真子集和B等价，则a＞b；A??如果有集合B?B,A~B（即B有一个真子集和A等价），则a＜b；如果A~B，则a=b。因为空集是任何一个非空有限集的真子集，所以空集的基数0小于任何一个非空有限集的基数（即零小于任何一个零以外的自然数）。小学教科书在解释两个数的大小的意义时，和上面的定 义实质上是一致的。如下图所示。
☆ ☆ ☆ ☆
┆ ┆ ┆ ┆ ☆ 和 ★ 同样多。 ★ ★ ★ ★
4 = 4 读作：4等于4 ┆ 等号
○ ○ ○ ○ ○ ┆ ┆ ┆ ● ● ●
○ 比 ● 多。 ● 比 ○ 少。
5＞3 读作：5大于3。 3＜5读作：3小于5。 ┆ ┆ 大于号 小于号
【自然数大小的序数意义】 在自然数的序数理论中，自然数的大小是根据它们在自然数列中的前后位置来定义的。
根据皮安诺公理②，“0不是任何其它自然数的继数。”（参看本书P.2）。所以0应该排在自然数列的最前面，是所有自然数中最小的一个。
根据皮安诺公理③，“每一个自然数a都有一个继数”，（参看本书P.2），所以对于自然数列中的任何一个数来说，都有比它大的自然数。进而推出：自然数没有最大的；自然数列是无限的。
自然数大小的以上两种意义虽然说法不同，但实质上是不矛盾的。
A1—26 为什么0是最小的自然数，但不是最小的一位数？
“0是最小的自然数”是根据皮安诺公理②“0不是任何其它自然数的继数”推出的结论。（参看本书P.2），也可以根据“空集是任何一个非空有限集的真子集”推出。
但由于0不是一位数（参看本书P.12），所以也就不可能是最小的一位数。
A1—27 怎样构造最小的（或最大的）一位数，两位数，三位数，…，n位数？
在一位数1，2，?，9中，显然，最小的是1，最大的是9。
两位数有两个有效数字，有效数字的最高位是十位。当十位是“1”，个位是“0”时，两位数最小；当个位与十位都是“9”时两位数最大。即两位数中最小的是10，最大的是99。
从两位数在自然数列中的排列
10，11，12，?，99
也可以看出：在两位数中，最小是10，最大的是99。
同理，三位数的有效数字的最高位是百位。当百位是“1”，十位与个位都是“0”时三位数最小，当百位、十位与个位都是“9”时三位数最大。以下类推。
一般地说，在n位数中，最小的是10在这些数之间还存在下面的关系：
最小的n位数=最大的n－1位数＋1 最大的n位数=最小的n＋1位数－1
n?1，即100?0；最大的是10?1，即99?9。 ??????n?1个\n个\9\nA1—28 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较后，只适用于有限小数，不适用于无限小数？0.59＜0.6对吗？
【多位数大小的比较】 多位数大小的比较法则如下： （1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；
（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；
?
如果最高位上的数又相同，则第二位数（即次高位上的数）较大的数较大。?? （以下类推）
（3）如果两个多位数的位数相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。如下表所示：
位数不同——（1）
比位数
位数相同，比 不等——（2）
最高位上的数 相等，比次 不等——（2）
高位上的数 不等——（2） 相等…… 相等——（3） 这是经过有限次操作就能执行完毕的程序。
【有限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则可以推广，用于比较两个有限小数的大小。 （1）如果两个有限小数的整数部分不等，则整数部分较大的有限小数较大；
（2）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数。十分位上的数较大的有限小数较大；如果十分位上的数也相等，则比百分位上的数，百分位上的数较大的有限小数较大；??（以下类推）
（3）如果两个有限小数的整数部分相等，并且小数部分各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个有限小数相等。如下表：
不等——（1）
比整数部分 不等——（2）
相等，比十 不等——（2）
分位上的数 相等，比百 不等——（2） 分位上的数 相等……
相等——（3）
【无限小数大小的比较】 多位数大小的比较法则推广到小数后，不适用于某些无限小数的大小比较。如根据循环小数化分数的法则：
?
0.59?59?5?0.6 90?但运用上述有限小数的大小比较法则，则得如下错误结果：
0.59＜0.6
这就说明：有限小数的大小比较法则不适用于无限小数。
一般地说，为了比较两个循环小数的大小，可以按法则先把它们分别化为分数，再比较两个分数的大小。或者把它们化为循环节所在的数位相同的循环小数，再依次比较小数部分中不循环的部分和循环节中数的大小。
事实上，如果被比较的无限小数中，没有循环节是9的循环小数，则有限小数的大小比较法则对它们一般仍然适用。
??4554615386?，0.461538?? 例如，0.45?99119999991356566656??∵，，∴＜ 1111?131311?131113??或者，∵454545＜461538，∴0.45?0.454545＜0.461538
??????A1—29 分数的大小如何定义和判定？
【两个分数相等以及大小的定义】 两个正分数
pr与，当ps=rq时被认为是相等的。 sq如果
pr?，则由上述定义，ps≠rq。于是有ps＞rq，或者ps＜rq。 qsprpr＞；当ps＜rq时，就说＜。 ssqqpr与 sq当ps＞rq时，就说
【两个分数相等以及大小的判定】 两个正分数
（1）如果ps=rq，则
pr?； qspr＞； sq（2）如果ps＞rq，则
（3）如果ps＜rq，则
pr＜。 sq【小学数学中比较分数大小的法则】
（1）分母相同时比分子。如果分子也相同则分数相等；如果分子不等则分子大的分数较大； （2）分子相同时比分母。如果分母也相同则分数相等；如果分母不等则分母大的分数较小； （3）分子与分母都不同时先通分，转化为同分母分数后再比较大小。 参考书：《大百科全书 数学卷》P634
A1—30 最小的分数单位是什么？最大的分数单位是什么？真分数有没有最小的？有没有最大的？
【自然数的单位和计数单位】 “1”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。“1”也是自然数的最小的计数单位，因为一、十、百、千、万、??都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。
【分数的单位】 分子是1的分数叫做分数单位。如是由若干个分数单位组成的。
分数单位是将自然数单位1平均分成若干份的结果。在所有的分数单位中，最大的是
111，，，??都是分数单位。任何一个分数都2341；但没有最小的。2设q是一个大于1的自然数，则的。
11就是一个分数单位。因为自然数q没有最大的，所以分数单位没有最小qq【最大的和最小的真分数】 分子小于分母的分数叫做真分数。在同分母的分数中，最小的只含一个分数单位的分数，即分数单位本身。所以最小的真分数就是最小的分数单位。因为分数单位没有最小的，所以真分数也没有最小的。
在分母同为q的真分数
pq?11?1?。所以，如果真分数有最中，p=1时最小，p=q－1时最大。因为qqq
大的，则分数单位就必然有最小的，与已经证明的结论矛盾。
第二节 数的运算 约数和倍数
A2—1 怎样定义四则运算？ 怎样得出四则运算中各部分间的关系？
【在自然数的基数理论中加法的定义】
设A、B分别表示以a、b为基数，且无公共元素的集合，C是A、B的并集，则C的基数c称为a、b的和，记为c=a+b。
a、b都叫“加数”。求两个数的和的运算称为加法，表示加法的符号“＋”叫做加号。
小数数学中借助具体情境向小学生暗示的加法的意义与基数理论中加法的定义是一致的。但说法不妥：“把两个数合并成一个数的运算叫做加法。”因为合并的是两个集合，而不是两个数。这里是用集合的运算“并”来定义自然数的运算“加法”。如果用数的“合并”来解释数的“加法”，那么数的合并又是什么意思呢？
【在递归算术中加法的定义】
设S表示求一个数的继数的运算。即S0=1，S1=2，S2=3，??。 则自然数的加法“＋”的意义可以用求继数的运算S定义如下：
a＋0=a ?①
a＋Sb=S（a＋b） ?②
例如，5＋3的意义可以这样理解：根据②
5＋3=5＋S2=S（5＋2） 5＋2=5＋S1=S（5＋1） 5＋1=5＋S0=S（5＋0）
根据①， 5＋0=5 所以， 5＋3=SSS5=8
即5＋3的和指的是5的继数的继数的继数。即在自然数列中，是从5往后数3个数所得出的8。 【减法的定义】
设a、b是两个自然数。如果有一个这样的自然数c，能使b＋c=a，就说c是a与b的差，记作a－b=c。
其中a叫做被减数，b叫做减数，求两个数的差的运算叫做减法。表示减法的符号“－”叫做减号。
也可以这样说：已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做“减法”。在减法中，已知的和叫做“被减数”，已知的加数叫做“减数”，求出的未知的加数叫做“差”。
【乘法的定义】
b个相同加数a的和叫做a与b的积，记作a×b。即
a?a???a?a?b ???????b个求两个数的积的运算叫做乘法。在乘法算式a×b中，相同的加数a叫做被乘数，相同加数的个数b叫做乘数。被乘数与乘数都叫做积的因数。表示乘法的符号“×”叫做乘号。
以上定义中的乘数b是大于或等于2的自然数。关于乘数是0或1的乘法的意义，另行补充规定如下：
a×1=a，a×0=0。
【在递归算术中乘法的定义】 在递归算术中，乘法和加法一样，也是作为一个递归函数来定义的。定义加法，只用了求继数的运算S，而定义乘法，要同时用加法和求继数的运算S：
a×0=0
a×S b=a×b＋a
所谓“递归函数”，是数论函数的一种，是以自然数集为定义域和值域的函数。
【除法的定义】 设a、b是两个自然数，b≠0。如果有一个这样的自然数c，能使b×c=a，就说c是a与b的商，记作a÷b=c。其中a叫做被除数，b叫做除数。求两个数的商的运算叫做除法。表示除法的符号“÷”叫做除号。
在小学数学里，一般把“除法”定义为“已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。”在除法中，已知的积叫做“被除数”，已知的因数叫做“除数”，求出的未知的因数，作为除法运算的结果，叫做“商”。
【加、减法各部分间的关系】
根据减法的定义，可以推出加、减法中各部分之间的关系： （1）两个数相加，每一个加数都等于和减去另一个加数； （2）被减数等于减数加差；
（3）减数等于被减数减去差。
下图中每一个推理的根据都是减法的定义。
加数 + 加数 = 和 ? 和 － 一个加数 = 另一个加数
┆ ┆ ┆
减数 + 差 =被减数
被减数 － 差 = 减数
图1-6
【乘、除法各部分间的关系】 同理，根据除法的定义，可以推出乘、除法中各部分之间的关系： （1）两个数相乘，每一个因数都等于积除以另一个因数； （2）被除数等于除数乘商；
（3）除数等于被除数除以商。如图1-7所示。
因数 × 因数 = 积 ? 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
┆ ┆ ┆
除数 × 商 =被除数
被除数 ÷ 商 = 除数
图1-7
被除数 ÷ 除数 = 商 被减数 － 减数 = 差
A2—2 “运算”、“计算”、“演算”有什么不同？
【运算（Operation）】
定义在集合A上的运算是指从直积集合A×A到集合A的一种对应。如果对于集合A中的任何两个元素的序偶即A×A的一个元素（a，b），集合A中都有唯一确定的元素c和它对应，就说在集合A上定义了一种运算。
例如，对于自然数集N中的任何两个自然数a，b，都有这样一个唯一确定的自然数c，使a＋b=c。所以加法是定义在自然数集N上的一种运算。然后，加法被推广到整数集、有理数集、实数集和复数集。
类此，可以给出减法、乘法与除法的定义。加、减、乘、除四种运算统称为四则运算或算术运算（arithmetic Operation）。小学数学中所说的“运算”通常就是指算术运算或四则运算，计算机中的运算器（Arithemetic unit）就是进行四则运算的装置。
【计算（Calculation）】
根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“计算”。 【演算（Calculus）】
在小学数学中，人们常常用“演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了各种运算，“演算”还包括约分、通分之类的恒等变换，以及求最大公约数或最小公倍数，辗转相除法等操作。
在数学科学中，还用“演算”表示某种理论的体系。如命题演算（Calculus of proposition）、类演算（Calculus of classes）等。此外“Calculus”一词还用来表示“微积分学”。计算机或计算器本身则被称之为“Calculator”。
A2—3 “口算”、“心算”、“简算”、“速算”、“验算”有什么不同？
【口算】 不借助计算工具，直接通过思维算出得数的一种计算方法。口算既是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。
【心算】 口算也称心算。
【简算】 即“简便计算”，又称“速算”。指的是一类快速、巧妙的计算。如
1111111?????? 2612203042561111111=(1?)?(?)?(?)???(?)
22334781=1?
87= 8
6 1 5 4 × 11 = 6 7 6 9 4 ．．
简算有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“程序性操作”不同，没有常规的思维模式可套，没有现成的操作程序可循。需要有对数据的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，
要求人们探索和发现，以找出简算的途径。
【速算】 “简算”又称“速算”。
【验算】 式题计算或应用题解答后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫做“验算”。
A2—4 在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么？（经玲玲）
【横式】 通过运算符号，把一些数字连结起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的后面。如53+24=77，29+75－63=41。
【竖式】 把需要计算的数，写成符合规定的形式，再按运算法则进行计算。通常通过笔算进行。如： 加法 减法 乘法
12 5 12 5 12 5
+ 4 8 － 4 8 × 4 8
用竖式计算的实质是将当前对于二个数的计算归结为它们各个数位上的数的计算，以求得得数的各个数位上的数。
【递等式】 在进行混合运算时，要按运算顺序逐步计算。并用计算结果代替原式中的部分算式。用等号与原式相联。直至求出最后结果，这样的书写形式叫做递等式。如：
125+48×2 125÷（4+1） ┆ ┆ =125 + 96 =125 ÷ 5 ┆ ┆ =221 = 25
一般情况下竖式用于数目较大，数位较多的四则计算，用于口算比较困难的场合。递等式用于四则混合运算。
A2—5 “精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么？
【精确计算】 为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到同准确数相差不多的近似数。如购物该付多少钱？这是需要精确计算才能回答的问题。
为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误；所用的计算公式正确表达了有关的几个数量间的关系，（而不是“近似公式”）并且计算过程中的每一步都是按相关的计算法则正确地进行的。
【近似计算】 在工程技术的计算中，所用的原始数据大多数不是准确数。许多数量都不要求完全准确，
允许数据有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。通过近似计算，可以得到误差不超出指定范围的近似数。
【估算】 “估算”是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的判断。如参加一次旅游，大概需要多少费用？这就是一个需要通过估算来解决的问题。
总之，精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数。如果对计算结果的误差范围也没有提出要求，那就可以用估算来解决。
A2—6 怎样处理好“算法多样化”与“算法系列化”之间的关系？
2001年颁布的义务教育课程标准提倡“算法多样化”和“解题策略多样化”。这对于拓宽学生的解题思路、培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用他理解得最快的某种算法。但从不断提高学生的理性思维的根本目标来看，我们应该引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“喜欢”作为选择算法的主要依据。
此外，算法或解决问题的方法往往是以学生已经掌握的某种算法或解题方法为基础的。例如，20以内退位减的“凑十法”和“破十法”都是以10以内的减法及20以内数的组成为基础的。如：
17 － 9 = 8 17 － 9 = 8
10 7 2 7 10 1
而“算减想加”：17－9=（ ），想9+（ ）=17。因为9+（8）=17，所以17－9=（8）。则是对一年级小学生进行的一次典型的推理训练。这是根据加、减法的关系（或者说减法的意义）进行的推理，它把20以内退位减的计算归结为20以内的进位加。
许多法则的实质都是将当前有待解决的问题。转化和归结为以前已经能解决的问题。认识算法的前后联系，弄清它们根据化归思想组成的体系，似乎比单纯的“算法多样化”更重要。
A2—7 36＋88＋64=36＋64＋88？根据什么来证明
常见的误解是：36+88+64=36+64+88是根据加法交换律来证明的。似乎在“36+88+64”中，将88与64交换位置，就可以得到“36+64+88”。这样的理解是错误的。
加法交换律告诉我们：“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”四则混合运算的顺序规定：“没有括号
并且只含有同一级运算的算式，从左到或依次计算”。
这就是说，（36+88）+64中的括号可以省去。也就是说，对于36+88+64应该理解为（36+88）+64。因此，在算式“36+88+64”中，与64相加的并不是88，而是36+88的和。因为88与64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。上面的等式可以证明如下：
（36+88）+64=36+（88+64） ??加法结合律
=36+（64+88） ??加法交换律 =（36+64）+88 ??加法结合律
或者，这样证明：
（36+88）+64=64+（36+88） ??加法交换律
=（64+36）+88 ??加法结合律 =（36+64）+88 ??加法交换律
A2—8 整数加减法、小数加减法以及分数加减法有什么相同点和不同点？（蒋宝红）
整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过计算法则的理论依据又是相同的：计数单位或分数单位相同的数才能直接相加（减），所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐。分母不同的分数加减时要先通分，使分数单位相同。
A2—9 乘法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的意义有什么不同？
【自然数的基数理论中乘法的定义】
因为自然数的加法适合结合律，所以任意b个a相加的结果与添加括号的方式无关，其唯一的结果记为
d?a?a???a?ab
b个a
称作a与b的积，记作“a×b”或“a·b”或“ab”读作“a乘以b”或“b乘a”。求积的运算叫做自然数的乘法。
在a×b中，a叫做被乘数，b叫乘数。被乘数与乘数也叫积的因数。“×”或“·”叫做乘号。对于数与字母或者字母与字母的乘法，乘号可以省略。
可以证明：自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
通过补充规定a×0=0、a×1=a可以将上述乘法的定义推广到乘数是0或1的场合。 【自然数的序数理论中乘法的定义】
在自然数的序数理论中，乘法可以用求继数的运算“S”与加法“+”为基础，借助如下递推式来定义：
?a?0?0 ??a?Sb?a?b?a这样，我们就自然有a?0?0和
a?1?a?S0?a?0?a?a
【小学数学课本中乘法的意义】
有现行的小学数学教科书中，小学生先从教材创设的情境中，抽取出“几个几”的数量问题。然后列连加算式解决，继而将相同加数的连加算式改写成较为简短的乘法算式，引进新的运算“乘法”。用这样的方式解释“乘法”的意义，把“乘法”描述为“求几个相同加数的和的简便计算”，与基数理论中乘法的定义相同。
【不区分“被乘数”与“乘数”导致的后果】
对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异： （1）“几个几”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。如 3个2的和 2＋2＋2=6 2×3=6 2个3的和 3＋3=6 3×2=6
但是，基础理论中“几个几”的求和问题与乘法算式的一一对应被破坏，相同加数的加法算式与乘法算式的一一对应也被破坏。
“3个2的和”，2＋2＋2=6 2×3=6
“2个3的和”：3＋3=6 3×2=6
损害了乘法定义应有的精确性。
（2）在基础理论的乘法定义中，“被乘数”与“乘数”既有各自的不同名称，又有它们共同的名称“积的因数”。在现行的小学数学中，不再区分被乘数与乘数。也就是在
a＋a＋?＋a
b个a
中不区分“相同的加数”与“相同加数的个数”。这样做不仅破坏了上述一一对应关系，而且使“a×b”与“b
×a”意义上的差异模糊不清。于是乘法交换律
a×b= b×a
将如同“a=a”失去原有的意义要性。
小学数学教科书在数学基础知识上的“变动”应该经过权威数学家群体的认可。数学名词的含义的“变动”，必须经过中国科学院数学名词委员会的同意。
A2—10 “4×7×250=4×250×7”是根据乘法交换律吗？
【根据乘法交换律推理】
只根据乘法交换律推不出4×7×250=4×250×7。因为在等号两边的算式中，7与250都不是“相乘的两个数”。为了证明这个等式，还需要运用乘法结合律。正确的推导过程如下：
（4×7）×250= 4×（7×250）???? 乘法结合律 = 4×（250×7）???? 乘法交换律 =（4×250）×7???? 乘法结合律 或者
（4×7）×250= 250×（4×7）???? 乘法交换律
=（250×4）×7???? 乘法结合律 =（4×250）×7???? 乘法交换律
或者
（4×7）×250=（7×4）×250???? 乘法交换律
=7×（4×250）???? 乘法结合律 =（4×250）×7???? 乘法交换律
应该强调：在乘法交换律中，可以交换位置而不改变积的大不的只能是“相乘的两个数”。根据乘法交换律推理时，必须首先确认交换位置的两个数是不是相乘的两个数。训练学生推理，一开始就要养成严格推理的依据思考、不能有丝毫含糊的习惯。否则，培养学生的理性思维和逻辑推理能力的要求就会大打折扣。
【乘法交换律与结合律的推论】
“几个数相乘，可以将其中的任何两个因数交换，或者任何几个因数结合起来先乘”，这是根据乘法交换律与结合律得出的推论，而不是乘法交换律或乘法结合律本身。
A2—11 做分数乘法时，“先约分、后相乘”的根据是什么？
做分数乘法时，常常“先约分、后相乘”。如
5
在这里，为什么25与15可以约分呢？约分的理论依据是“分数的基本性质——一个分数的分子与分母都乘以（或者都除以）同一个不为零的数，分数的大小不变”。而这里的25与15并不是同一个分数的分子与分母，为什么它们可以都除以5呢？
关于这种演算的合理性可以这样理解：
2156?? 2517853
5
即演算时省略了根据分数乘法法则写出的两个分数的积。根据这个法则，两个分数相乘的积是一个分数，25与15的公约数5就是这个积的分母与分子的公约数，当然可以把它“约去”。
【对角约分】
两个数相乘，一个分数的分母与另一个分数的分子约分，通常被称为“对角约分”。对角约分的合理性还可以这样认识：
215?2?15?6?=??= 2517?25?17?853
215?26??151?23????5???????? 2517?25??175?51785即两个数相乘时，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
A2—12 为什么在分数的乘法运算中，要先把带分数化成假分数？
【分数乘法的法则】
两个分数相乘，以分子的积作为积的分子；以分母的积作为积的分母。即
acac?? bdbd这个法则适用于任何两个分数相乘。但不能直接用于带分数。因为“带分数是一个自然数与一个真分数合并而成的数”。实质上是一个自然数与一个真分数的和。严格地说，它是一个式（两个数相加的和式），而不是一个数。当然也就不是一个分数。因此，分数乘法法则不能直接用于带分数是顺理成章的。在做分数乘法时，
如果有些因数是带分数，先要把这些带分数化为假分数，再按分数乘法法则演算。
做分数除法时，如果有带分数，也要先化为假分数。 【带分数做加、减法，不必化为假分数】
在分数加、减法中用不着先把带分数化为假分数。这时，带分数的整数部分与分数部分可以作为两个数分别处理。
以上所说的属于常规的操作程序。对于某些算题的简便计算，往往需要改变法则规定的操作程序，寻求某种简捷的途径。如
3577?68?35?68??68 1717=2380＋28 =2408
A2—13 “等分除”、“包含除”与“除法”是什么关系。“除法”与“有余数除法”有什么不同？
【除法的意义】
已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，求出的未知因数，作为除法运算的结果叫做商。如13×7=91。当已知13与7，要求它们的积时，那是一个乘法问题。如果已知两个因数的积是91，其中一个因数是13，求另一个因数，那么所用的运算就是除法。
已知的因数 要求的因数 已知的积
┆ ┆ ┆ 13 × = 91 ┆ ┆ ┆ 除数 商 被除数
“91除以13，商是7”记作91÷13=7。其中“÷”叫做“除号”，读作“除以”。 除法的定义也可以这样表述：
已知两个数a、b，其中a≠0。如果存在数q，满足aq=b，就说q等于b除以a，记作
q=b÷a或q=
b a这里，由a、b求q的运算叫做除法，b叫做被除数，a叫除数，q叫做商。 关于除法的意义，有以下三点注意：设a是不为0的任意的一个数。 （1）因为a?1?a，所以a?1?a，a?a?1。 （2）因为a?0?0，所以0?a?0。
（3）0不能做除数。因为0÷0不确定（任意的一个数乘以0都等于0）；a?0不存在（不存在这样的数，它与0相乘的积是一个不为零的数）。
等分除与包含除都是应用除法来解决的问题，是除法的两种不同的实际模型，而不是两种不同的除法。认为“除法有等分除与包含除两种”的观点是错误的。
【等分除与包含除】
用除法来解决的、把一个数量平均分几份，求一份是多少的数学问题叫做等分除问题。 用除法来解决的、求一个数量里包含几个另一个数量的数学问题叫做包含除问题。
如8÷2=？可以解释为8个圆片平均分为两份，每份是几个圆片（图1-8）；也可以解释为：将8个圆片中的每2个圆片分为一份，共可分成几份？（图1-9）。
图1-8 图1-9
上述问题在具体情境中表示不同的问题，但这些问题都可以归结为已知两个因数的积是8，求其中一个因数是2，求另一个因数的问题，即都可以抽象成相同的数学问题8÷2=？都可以用除法来解决。
【有余数除法的意义】
一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“有余数的除法”。 有余数除法的意义也可以这样表述：
已知两个整数a、b，（a≠0）要求这样的两个整数q、r，使得q、r满足：b=aq＋r；r＜a，这样的运算叫做有余数除法。求得的整数q叫做不完全商，r叫做余数。b、a仍然分别叫做被除数和除数，这四个数的关系记作
b÷a=q??r，（r＜a）
读作“b除以a等于q余r”，或者“b除以a，商q余r”。
【有余数除法与除法的比较】
（1）“有余数除法”是定义在整数集上的一种运算；而“除法”可以在任何一种数集上定义。 （2）两种除法的定义虽然都与乘法有关，（所以它们都被称之为“除法”），都要求除数不等于0，但具体条件不同：
系并不是属种关系。
aq=b a≠0 ?b÷a=q
b= aq+r 0≤r＜a ?b÷a=q??r
（3）不能说“有余数的除法是除法的特例”；也不能说“除法是有余数除法当r=0时的特例”。它们的关
A2—14 为什么由“a=b和b=c”可以推出“a=c”，而根据“300÷70=30÷7和30÷7=4……2”推不出“300÷70=4……2”？
【等量公理】
下列五条公理称为“等量公理”： （1）等于同量的量相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等； （4）等量的同倍量相等； （5）等量的一半相等。
【由“a=b和b=c”可以推出“a=c”】
这个推理的依据是上面的等量公理（1）“等于同量的量相等”。因为根据“a=b和b=c”，a、c两个量都等于c，所以由公理（1），可以得出“a=c”的结论。
因为统一计量单位后，“相等的量”就表现为“相等的数”，所以当a、b、c都表示数时，等量公理（1）仍然成立。
【“商4余2”的符号“4……2”并不表示确定的数】
在等式“30÷7=4??2”中，符号“4??2”并不表示确定的数。实质上它只给出了商的整数部分与分
数部分的分子，分数部分的分母则是等号另一边的除数。即
30÷7=4??2表示 30÷7= 4 2 2 因此，当“4??2”即“ 4 ”单独出现时，由于分数部分的分母不确定，所以它不能表示确定的a=b 数。因此，等量公理（1）运用于 a、b、c都表示确定的数”在这里不能a =时所要求的条件“c b = c ?满足。所以我们不能对它运用等量公理（1），即
等推理都是错误的。
参考书：《中学数学教师手册》，上海教育出版社，1986年5月第一版P1-38。
30÷7=4??2 300÷70=4??2 399÷199=2??1 3999÷1999=2??1 ? 30÷7=300÷70 ? 399÷199=3999÷1999
A2—15 为什么“0可以做乘数”，但“0不能作除数” ？（李同贤）
根据乘法的意义
a?b?a?a???a ???????b个aa?b?0?b?0?0???0?0 ???????b个0当a=0时，根据积a?b的补充定义，当b=0时，a?b?a?0?0，积也是唯一存在的，所有，0可以作乘数。
0为什么不能作除数呢？根据除法的定义：已知数a、b（a≠0），如果存在一个数q，使a?q?b，就说q是b除以a的商。已知a、b求q的这种运算叫除法，记作b?a?q，其中，b、a、q分别叫被除数、除数和商。
（1）当a?0时，如果又有b?0，则满足a?q?b，即0?q?0的q可以是任何数；
（2）当a?0、b≠0时，满足a?q?b，即0?q?b的数q不存在。
在这两种情况下都不符合四则运算要求结果必须存在且唯一的规定。因此，在除法运算中规定“0不能作除数”
A2—16 四则运算的笔算法则与整数四则的笔算法则有什么区别与联系？
【多位数加减法的竖式演算法则】 多位数加法的法则： （1）相同数位对齐； （2）从个位加起；
（3）哪一位相加满十，就向前一位进一。 多位数减法的法则： （1）相同数位对齐； （2）从个位减起；
（3）哪一位不够减，就从前一位退一，与这位上的数合起来再减。 说明：
（1）“多位数的笔算”指的就是“多位数的竖式演算”。
（2）多位数加减法则的实质是将两个多位数的加减归结为相同数位上的数（即计数单位相同的数）直接地分别加、减。
【小数加减法的竖式演算法则】 （1）先把各数的小数点对齐； （2）再按照整数加减法的法则计算；
（3）最后，对齐横线上的小数点，在得数里点上小数点。（小数部分末尾的0一般要去掉） 说明：
（1）法则中所说的“小数点对齐”实质上就是“相同数位对齐”。
（2）小数加减法的法则也是把两个小数的加减归结为相同数位上的数（即计数单位相同的数）直接地分别加减。
（3）为了正确说明得数中各数位的计数单位，需要“对齐横线上面的小数点，在得数里点上小数点。”
【多位数乘法的竖式演算法则】
（1）从低位开始，分别用乘数每一位上的数去乘被乘数；
（2）用乘数哪一位上的数去乘，乘得的部分积的末位就要和哪一位对齐； （3）把各次乘得的数（被称之为“部分积”）加起来。 说明：
（1）上述多位数乘多位数的运算法则实质上是将多位数乘多位数归结为一位数乘多位数。
（2）一位数乘多位数时，就用这个一位数分别去乘被乘数的个位、十位、百位、??各位上的数，并把各次乘得的数加起来。一位数乘多位数的这个法则，实质上是把一位数乘多位数归结为表内乘法。 （3）表内乘法是根据乘法口诀计算的。而乘法口诀是根据乘法的意义通过“同数连加”的计算得到的。 【小数乘法的竖式演算法则】 （1）先按照整数乘法的法则算出积；
（2）再看因数中一共有几位小数，就从积的末位往前数出几位，点上小数点。（乘得的积的位数不够时，要在前面添0补足）
（3）将积的小数部分末尾的0划去。 说明：
（1）小数乘法的法则，实质上是把两个小数的乘法，归结为两个整数的乘法；
（2）在法则中，给出了根据两个因数的小数位数来确定积的小数位数的方法，据以定出积的小数点的位置。（积的位数不够时，要在前面添0补足） 【多位数除法的竖式演算法则】 假设除数是n位数。
（1）先用除数试被除数的前n位数。如果它比除数小，就试除被除数的前n+1位数； （2）除到被除数的哪一位，除得的商就写在哪一位的上面； （3）每次除后余下的数必须比除数小。 【小数除法的竖式演算法则】
（1）除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除。但商的小数点要和被除数的小数点对齐。 （2）如果除数是小数，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位（位数不够时，在末尾添0补足）。然后按照除数是整数的小数除法计算。
例如 5628÷67=84 56.28÷67=0.84 56.28÷6.7=8.4
840.848.4675628 6756.28 67562.8
53653653 6 26 8 268 2 68 26 8 268 2 68 0 0 0说明：（1）多位数除法的商是一位、一位地求出来的，每求一位商都需要运用某一句乘法口诀； （2）除数是整数的小数除法法则，实质上是把除数是整数的小数除法归结为整数除法。只是最后要对着被除数的小数点，点上商的小数点。
（3）除数是小数的小数除法法则，实质上是把除数是小数的小数除法归结为除数是整数的小数除法。掌握运算法则的关键在于根据原始数据的小数点正确处理得数的小数点。
可见，小数四则运算与整数四则运算的笔算（即竖式演算）法则构成了一个体现化归思想的完整的体系。这个体系中的每一个法则都是力求将当前面临的新问题归结为早先已经解决的问题。
A2—17 什么是“结合符号”与“分隔符号”？
【结合符号】
用来表示运算顺序（即算式结构）的符号叫做结合符号。括号就是常用的结合符号。 例如，假设我们要根据以下五个分步算式
12＋6=18 100－18=82 82×4=328 328＋22=350 350÷70=5
列一个综合算式，那就需要用某种方式在下面的算式中
②
①
③
④
⑤
? ? ? ? ?
100 － 12 ＋ 6 × 4 ＋ 22 ÷ 70
说明五个运算必须按照序号表示的顺序进行。这个要求可以用括号来达到：
｛[100－（12＋6）]×4＋22｝÷70=5
常用的括号有以下几种：
“｛｝”叫做大括号（也叫花括号或括带）； “[ ]”叫做中括号（也叫方括号或括号）； “（）”叫做小括号（也叫园括号或括弧）。 “——”叫做括线，规定要写在式子的上面。
引用几种形状不同的括号，目的仅仅是为了易于辨认。可以证明：只用一种括号“（）”，同样能确切地表明运算的顺序和算式的结构。如上面的综合算式可以写成：
（（100－（12＋6））×4＋22）÷70=5
【分隔符号】
起分隔作用的显示不同区域内符号的不同意义的数学符号叫做分隔符号。如多位数分级的“分节号”；区分一个小数的整数部分与小数部分的“小数点”；区分无限循环小数的小数部分中的循环节和不循环部分的循环点；区分四则运算中参与运算的数和运算所得的数的“线条”（如下面的算式）都是分隔符号。
部分积 ?商
除数? 675628 ?被除数
84 536
268 ?求出商的最高位后的余数 268 0 ?余数
有些其它符号兼有分隔符号的作用。如分数线上面（或前面）的数或式是分子；下面（或后面）的数或式是分母。而分数线本身不但有除法运算的意义，还有分隔符号与结合符号的作用。如在
a?b2222中，a－b是分子，a?2ab?b是分母。这个分式表示(a?b)?(a?2ab?b)。 22a?2ab?bA2—18 四则混合运算为什么要规定：“从左到右”、“先乘除、后加减”？
【四则运算】加、减、乘、除四种运算统称“四则运算”。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则称之为四则混合运算算式。一般地说，有了结合符号（如各种括号），我们就可以根据需要表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。如算式
15×4＋16÷4
包含三个运算。适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。如
[（15×4）＋16]÷4
15×[4＋（16÷4）]
[15×（4＋16）]÷4
? ? ?
③
? ? ?
①
?
②
?
①
?
③
① ②
③ ②
等。共有6种不同的顺序。
【四则混合运算的运算顺序】在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序作出了以下几点规定：
（1）在一个没有括号的算式中，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，则从左到右依次运算；（“从左到右”）
（2）如果没有括号的算式中既有加、减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；（“先乘除，后加减”）
（3）在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子； （4）有几层括号时，从里到外依次计算。
按照这样的规定，上述三个四则混合运算的算式可以简化为：
（15×4＋16）÷4
15×（4＋16÷4）
15×（4＋16）÷4
? ?
① ②
?
③
?
③
? ?
?
②
?
①
?
③
② ①
这三个运算的另三种运算顺序可分别表达为： 15×4＋(16÷4)
15×4＋16÷4
15×[（4＋16）÷4]
? ?
② ③
?
①
? ? ?
?
③
?
①
?
②
① ③ ②
三个运算的六种不同的运算顺序只需平均用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，那么为了说明上述每一个算式中三个运算的顺序平均得用两对括号。
至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加、减法或
[(a?b)?c]?d??e中的括号可以全部省者只有乘、除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是?
略，而把这个算式写成a?b?c?d?e；但算式a??b?[c?(d?e)]?要保持原定的运算顺序，其中的三对括号一对也不能省。
规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）＋（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4＋16÷4；而（15＋4）×（16－4）中的括号就不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减、后乘除”，则前一算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。
“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种有关数学符号语言的人为的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。
A2—19 为什么两个数相除，如果商不是整数和有限小数，就一定是循环小数？（张秀花）
做除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次做除法的余数，都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明：商的小数部分的下一个循环即将开始，如22÷7=3.142857的演算过程如下： 3.1 4 2 8 5 7 1
2 2 7 2 1
余1 ? 1 0 ?商1
7 3 0 ?商4 余3?
2 8
2 0 ?商2 余2?
1 4 6 0 ?商8 余6?
5 6 4 0 余4? ?商5 3 5 ?商7 5 0 余5?
4 9 ?商1 1 0 余1 ?
可见，两个数相除，如果商不是整数和有限小数，那么商就一定是循环小数。
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