1
所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
x
[思考1] 某物体按s＝f(t)的规律运动．该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？
Δy [思考2] 如何求(当Δx无限趋近于0时)的极限？
Δx名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算． Δy(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
Δx讲一讲
??29＋3（t－3），0≤t<3，
2．若一物体的运动方程为s＝?2(路程单位：m，时间单位：
?3t＋2，t≥3，?
2
s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[尝试解答] (1)因为Δs＝3×5＋2－(3×3＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 sΔs48
到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
Δt2
2
2
求瞬时速度的步骤
(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (3)求平均速度
Δs； Δt
练一练
2．一质点按规律s(t)＝at＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在
2
t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？
名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．
Δx→0时，ΔyΔx的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．
讲一讲
3．求函数y＝x－1
x在x＝1处的导数．
[尝试解答] ∵Δy＝(1＋Δx)－1?1?1＋Δx－??1－1?? ＝Δx＋Δx1＋Δx，
Δx＋
Δx∴Δy1＋ΔΔx＝xΔx＝1＋1
1＋Δx，
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限． 练一练
3．求函数f(x)＝x2
＋5x在x＝3处的导数．
解：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3) ＝(3＋Δx)＋5(3＋Δx)－(3＋5×3) ＝9＋6Δx＋(Δx)＋15＋5Δx－9－15 ＝(Δx)＋11Δx，
Δy（Δx）＋11Δx∴＝＝Δx＋11， ΔxΔx.
—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法，见讲1； (2)瞬时速度的求法，见讲2;
(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.
3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.
注意：在导数的定义中，变化量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．
2
2
2
2
2
课下能力提升(一) [学业水平达标练]
题组1 求函数的平均变化率
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B 平均变化率为
1－3
＝－1. 3－1
Δy2
2．已知函数y＝f(x)＝2x的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的Δx值为( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2Δx Δy2（1＋Δx）－2×1
解析：选D ＝＝4＋2Δx.
ΔxΔx3．求函数y＝f(x)＝
1
2
22
x在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．
11＋Δx－1
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝
＝＝∴
1－1＋Δx1－（1＋Δx）＝
1＋Δx（1＋1＋Δx）1＋Δx， （1＋1＋Δx）1＋ΔxΔy1＝－ . Δx（1＋1＋Δx）1＋Δx－Δx题组2 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3 C．－1 D．0 答案：B
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度． 解：物体在t0时的平均速度为
3
s（t0＋Δt）－s（t0）v＝
Δt（t0＋Δt）－2－（t0－2）3t0Δt＋3t0（Δt）＋（Δt）＝＝
3
3
2
2
3
ΔtΔt＝3t0＋3t0Δt＋(Δt).
故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t0 m/s.
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
2
22
s（t0＋Δt）－s（t0）（t0＋Δt）3－2－（t30－2）解：由v＝＝
ΔtΔt＝
3t0Δt＋3t0（Δt）＋（Δt）
2
2
3
Δt＝3t0＋3t0Δt＋(Δt)，
22
所以由3t0＝27，解得t0＝±3， 因为t0>0，故t0＝3，
2