2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数学案新人教A版选修2-2

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所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.

x

[思考1] 某物体按s=f(t)的规律运动.该物体在[t0,t0+Δt]内的平均速度是什么?在t0的瞬时速度是多少?

Δy [思考2] 如何求(当Δx无限趋近于0时)的极限?

Δx名师指津:(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算. Δy(2)求出的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,求出结果即可.

Δx讲一讲

??29+3(t-3),0≤t<3,

2.若一物体的运动方程为s=?2(路程单位:m,时间单位:

?3t+2,t≥3,?

2

s).求:

(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度; (2)物体在t=1 s时的瞬时速度.

[尝试解答] (1)因为Δs=3×5+2-(3×3+2)=48,Δt=2,所以物体在t=3 sΔs48

到t=5 s这段时间内的平均速度为==24(m/s).

Δt2

2

2

求瞬时速度的步骤

(1)求物体运动路程与时间的关系s=s(t);

(2)求时间改变量Δt,位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (3)求平均速度

Δs; Δt

练一练

2.一质点按规律s(t)=at+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在

2

t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.

由题意知,4a=8,所以a=2.

[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗?函数f(x)=|x|在x=0处是否存在导数?

名师指津:不一定,f(x)=|x|在x=0处不存在导数.

Δx→0时,ΔyΔx的极限不存在,从而在x=0处的导数不存在.

讲一讲

3.求函数y=x-1

x在x=1处的导数.

[尝试解答] ∵Δy=(1+Δx)-1?1?1+Δx-??1-1?? =Δx+Δx1+Δx,

Δx+

Δx∴Δy1+ΔΔx=xΔx=1+1

1+Δx,

求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称:一差、二比、三极限. 练一练

3.求函数f(x)=x2

+5x在x=3处的导数.

解:∵Δy=f(3+Δx)-f(3) =(3+Δx)+5(3+Δx)-(3+5×3) =9+6Δx+(Δx)+15+5Δx-9-15 =(Δx)+11Δx,

Δy(Δx)+11Δx∴==Δx+11, ΔxΔx.

—————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1.本节课的重点是函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义,也是本节课的难点. 2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法,见讲1; (2)瞬时速度的求法,见讲2;

(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法,见讲3.

3.本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错,见讲3.

注意:在导数的定义中,变化量Δx的形式是多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.

2

2

2

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课下能力提升(一) [学业水平达标练]

题组1 求函数的平均变化率

1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于( )

A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:选B 平均变化率为

1-3

=-1. 3-1

Δy2

2.已知函数y=f(x)=2x的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则的Δx值为( )

A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx Δy2(1+Δx)-2×1

解析:选D ==4+2Δx.

ΔxΔx3.求函数y=f(x)=

1

2

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x在区间[1,1+Δx]内的平均变化率.

11+Δx-1

解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=

==∴

1-1+Δx1-(1+Δx)=

1+Δx(1+1+Δx)1+Δx, (1+1+Δx)1+ΔxΔy1=- . Δx(1+1+Δx)1+Δx-Δx题组2 求瞬时速度

4.某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t-2表示,则此物体在t=1 s时的瞬时速度(单位:m/s)为( )

A.1 B.3 C.-1 D.0 答案:B

5.求第4题中的物体在t0时的瞬时速度. 解:物体在t0时的平均速度为

3

s(t0+Δt)-s(t0)v=

Δt(t0+Δt)-2-(t0-2)3t0Δt+3t0(Δt)+(Δt)==

3

3

2

2

3

ΔtΔt=3t0+3t0Δt+(Δt).

故此物体在t=t0时的瞬时速度为3t0 m/s.

6.若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t0的值.

2

22

s(t0+Δt)-s(t0)(t0+Δt)3-2-(t30-2)解:由v==

ΔtΔt=

3t0Δt+3t0(Δt)+(Δt)

2

2

3

Δt=3t0+3t0Δt+(Δt),

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所以由3t0=27,解得t0=±3, 因为t0>0,故t0=3,

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