2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数学案新人教A版选修2-2

1.1 变化率与导数

第1课时 变化率问题、导数的概念

[核心必知]

1.预习教材,问题导入

根据以下提纲,预习教材P2~P6的内容,回答下列问题. (1)气球膨胀率

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气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=πr,如果将半

333V径r表示为体积V的函数,那么r(V)=.

①当空气容量V从0增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少? 提示:

r(1)-r(0)

1-0

≈0.62(dm/L).

②当空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少? 提示:

r(2)-r(1)

2-1

≈0.16(dm/L).

③当空气容量从V1 增加到V2时,气球的平均膨胀率又是多少? 提示:

r(V2)-r(V1)

V2-V1

(2)高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t+6.5t+10.

①在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度v是多少? 提示:v=

2

h(0.5)-h(0)

0.5-0

=4.05(m/s).

②在1≤t≤2这段时间里,运动员的平均速度v是多少? 提示:v=

h(2)-h(1)

2-1

=-8.2(m/s).

??65??③在t1≤t≤t2这段时间里, 运动员的平均速度 v又是多少??其中,t1

提示:v=

h(t2)-h(t1)

t2-t1

2.归纳总结,核心必记 (1)函数的平均变化率

对于函数y=f(x),给定自变量的两个值x1和x2,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),我们把式子

f(x2)-f(x1)

称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

x2-x1

习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”,Δy可用x1+Δx代替x2;类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可表示为.

Δx(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t0

到t0+Δt之间的平均变化率体在t0时刻的瞬时速度.

(3)导数的定义

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,

记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=

=

f(t0+Δt)-f(t0)

趋近于常数,我们就把这个常数叫做物

Δt[问题思考]

(1)设A(x1,f(x1)),B (x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,则函数y=f(x)Δyf(x2)-f(x1)f(x1+Δx)-f(x1)的平均变化率==表示什么?

Δxx2-x1Δx

提示:表示割线AB的斜率.

(2)Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?

Δy提示:Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为0.平均变化率可正、可

Δx负、可为零.

(3)在高台跳水中,如何求在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度v?当Δt趋近于0时,

平均速度v有什么样的变化趋势?

提示:=当Δt趋近于0时,平均速度v即为t=1时的瞬时速度.

(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系?

提示:①区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢;

Δy②联系:当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的

Δx瞬时变化率,它是一个固定值.

[课前反思]

(1)平均变化率的定义是: ; (2)什么是函数的瞬时变化率?它与平均变化率有什么区别和联系?

; (3)导数的定义是什么?如何表示?

; (4)平均速度与瞬时速度的定义是什么?它们有什么区别和联系?

. .

Δy[思考1] 平均变化率可用式子表示,其中Δy、Δx的意义是什么?

Δx提示:Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量.

[思考2] 如何求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率? 提示:平均变化率为讲一讲

f(x2)-f(x1)

x2-x1

1.已知函数f(x)=3x+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率;

(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率. [尝试解答] (1)因为f(x)=3x+5, 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.2+5-3×0.1-5

=0.9.

0.2-0.1(2)f(x0+Δx)-f(x0) =3(x0+Δx)+5-(3x0+5) =3x0+6x0Δx+3(Δx)+5-3x0-5 =6x0Δx+3(Δx).

函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 6x0Δx+3(Δx)

=6x0+3Δx.

Δx

(1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的变化量Δx=x2-x1. 第二步,求函数值的变化量Δy=f(x2)-f(x1). Δyf(x2)-f(x1)

第三步,求平均变化率=.

Δxx2-x1(2)求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率,可用练一练

1

1.已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f(x0+Δx)-f(x0)

的形式.

Δxx变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

解:自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为 1

2+-(1+1)2f(2)-f(1)1==;

2-112

1?1?5+-?3+?3?145?f(5)-f(3)

自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为==.

5-3215114

因为<,

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