ay1(t)?by2(t)?{cos[ax1(t)]?cos[bx2(t)]}u(t)
因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为非线性系统；
T?x(t??)??cos[x(t??)]u(t)，y(t??)?cos[x(t??)]u(t??)，因为y(t??)?T[x(t??)]，所
以系统为时变系统；
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是非线性、时变、因果系统。
（2）设y1(t)?T?x1(t)??x1(t)costu(t)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)costu(t)，那么
T?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]costu(t) ay1(t)?by2(t)?[ax1(t)?bx2(t)]costu(t)
因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为线性系统。
T?x(t??)??x(t??)costu(t)，y(t??)?x(t??)cos(t??)u(t??)，因为y(t??)?T[x(t??)]，
所以系统为时变系统。
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。 所以，该系统是线性、时变、因果系统。
（3）设?y1(t)?T?x1(t)??dx1(t)dx(t)，y2(t)?T?x2(t)??2，那么 dtdtdx(t)dx(t)dT?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]?a1?b2
dtdtdtdx(t)dx(t)ay1(t)?by2(t)?a1?b2
dtdt因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为线性系统。
T?x(t??)??dx(t??)dx(t??)dx(t??)?，y(t??)?，因为y(t??)?T[x(t??)]，所以系统
dtd(t??)dt为时不变系统。
由于任意?时刻的输出只与?时刻的输入的微分有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果系统。
所以，该系统是线性、时不变、因果系统。
(4) 设y1(t)?T?x1(t)??x1(t)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)，那么
222T?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]2?a2x12(t)?b2x2(t)?2abx1(t)x2(t)
2ay1(t)?by2(t)?ax12(t)?bx2(t)
因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为非线性系统。
因为y(t??)?T[x(t??)]，所以系统为时不变系统。 T?x(t??)??x2(t??)，y(t??)?x2(t??)，
由于任意?时刻的输出只与?时刻输入的平方有关，而与?时刻以后的输入无关，所以系统是因果
系统。
所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。
(5) 设y1(t)?T?x1(t)???5t??x1(?)d?，y2(t)?T?x2(t)???x2(?)d?，那么
??5tT?ax1(t)?bx2(t)???[ax1(?)?bx2(?)]d?
??5tay1(t)?by2(t)?a?x1(?)d??b?x2(?)d???[ax1(?)?bx2(?)]d?
??????5t5t5t因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为线性系统。
T?x(t?t0)???x(??t0)d?????5t5t?t0??x(?)d?，
y(t?t0)??5(t?t0)??x(?)d?，因为
y(t?t0)?T[x(t?t0)]，所以系统为时变系统。
当t?0时，y(t)??5t??x(?)d?，5t?t，说明系统在t的输出与t时刻以后的输入有关，所以系统
为非因果系统。
所以，该系统是线性、时变、非因果系统。
(6) 设y1(t)?T?x1(t)??11x1(t)?x1(t?2)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)?x2(t?2)，那么 3311T?ax1(t)?bx2(t)??ax1(t)?ax1(t?2)?bx2(t)?bx2(t?2)
3311ay1(t)?by2(t)?a[x1(t)?x1(t?2)]?b[x2(t)?x2(t?2)]
33因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为线性系统。
T?x(t?t0)??1x(t?t0)?x(t?2?t0)3，
y(t?t0)?1x(t?t0)?x(t?t0?2)3，因为
y(t?t0)?T[x(t?t0)]，所以系统为时不变系统。
因为系统在?的输出与?时刻和??2时刻的输入有关，所以系统为非因果系统。 所以，该系统是线性、时不变、非因果系统。
(7) 设y1(t)?T?x1(t)??x1(t)，y2(t)?T?x2(t)??x2(t)，那么
T?ax1(t)?bx2(t)??ax1(t)?bx2(t) ay1(t)?by2(t)?ax1(t)?bx2(t)
因为ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为非线性系统。
T?x(t?t0)??x(t?t0)，y(t?t0)?x(t?t0)，因为y(t?t0)?T[x(t?t0)]，所以系统为时不变系
统。
系统在?的输出只与?时刻的输入有关，与?时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。 所以，该系统是非线性、时不变、因果系统。
(8) 设y1(t)?T?x1(t)??x1(t)n?????(t?nT)，y(t)?T?x(t)??x(t)??(t?nT)，那么
222n??????T?ax1(t)?bx2(t)??[ax1(t)?bx2(t)]??(t?nT)
n???ay1(t)?by2(t)?ax1(t)??(t?nT)?bx2(t)??(t?nT)
n???n?????因为饿ay1(t)?by2(t)?T[ax1(t)?bx2(t)]，所以系统为线性系统。
T?x(t?t0)??x(t?t0)??(t?nT)n????，
y(t?t0)?x(t?t0)??(t?t0?nT)n????，因为
y(t?t0)?T[x(t?t0)]，所以系统为时变系统。
系统在?的输出只与?时刻的输入有关，与?时刻以后的输入无关，所以系统为因果系统。 所以，该系统是线性、时变、因果系统。
1.14 将以下信号分类为功率信号、能量信号，或者两者都不是。在可能的情况下，求出信号的功率和能量。
(1) teu(t)； (2) e[u(t)?u(t?1)]； (3) 2te?t?tt； (4) 10esin(t)u(t)；
?t(5) sinc(t)u(t)； (6) sint?sin(2?t)。 解：(1) E????0(te?t)2dt??t2e?2tdt????1???2ttde2?0??1??2?2t1???2t2?2ttde?edt?etd ???000022??1??11??e?2tdt??e?2t?
02044??所以为能量有限信号，信号的能量为1/4。
(2) 该信号为有限区间信号，所以为能量信号。
E??edt?e01tt10?e?1
(3) E?(4) E?????????2t2e?2tdt?4?t2e?2tdt，根据题（1）的求解可得，E=1,所以信号为能量有限信号。
0??0100e?2tsintdt?100?e?2t02??1?cos2tdt 2??25e?2t??0???50?e?2tcos2tdt0??
?25?25?e?tcostdt0采用分布积分可得
?????0e?tcostdt?21，所以E?25/2，信号为能量有限信号。 222???sint??sin?t?(5) E????dt??0??dt??，所以信号为能量有限信号。 ???t?t????(6) E?????sint?sin(2?t)?dt??，所以不是能量有限信号。
??21?T1?T2P?limsint?sin(2??t)?dt?limsin2t?sin2(2??t)?2sintsin(2??t)?dt????T??2T?TT??2T?T1?T21?T21?T ?limsintdt?limsin(2??t)dt?lim2sintsin(2??t)dtT??2T??TT??2T??TT??2T??T11???0?122所以该信号为功率有限信号，功率为1。
1.15判断下列系统是否是可逆的。若可逆，则给出它的可逆系统；若不可逆，指出使系统产生相同输出的两个输入信号。
（1）y(t)?x(t?3)； （2）y(t)?（3）y(t)?dx(t)； dt?t??x(?)d?； （4）y(t)?x(5t)。
解：对不同的激励信号能产生不同响应的系统是可逆的。 （1）该系统可逆，其逆系统为y(t)?x(t?3)
（2）当激励信号为常数时，输出均为0。即不同的激励产生相同响应，所以系统不可逆。
dx?t? dtt（4）该系统可逆，y(t)?x()
5（3）该系统可逆，y(t)?1.16 有一线性时不变系统,初始时刻系统无储能，当激励为u(t)时，响应为
g(t)?e?tcostu(t)?cost[u(t??)?u(t?2?)]
试求当激励为?(t)时，系统的响应h(t)。
解：因为
?(t)?所以
du(t) dth(t)?dg(t)d?t?{ecostu(t)?cost[u(t??)?u(t?2?)]} dtdt??e?t(cost?sint)u(t)??(t)?sint[u(t??)?u(t?2?)]??(t??)??(t?2?)