初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)

(2)

=(﹣

===

(c+a﹣b)(c﹣a+b)(a+b+c)(a+b﹣c), (2p﹣2a)(2p﹣2b)?2p?(2p﹣2c),

=p(p﹣a)(p﹣b)(p﹣c), ∴

=

(说明:若在整个推导过程中,始终带根号运算当然也正确)

【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法,也培养了学生的推理和计算能力.

35.斐波那契(约1170﹣1250,意大利数学家)数列是按某种规律排列的一列数,他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示,如第n(n为正整数)个数an可表示为(1)计算第一个数a1; (2)计算第二个数a2;

(3)证明连续三个数之间an﹣1,an,an+1存在以下关系:an+1﹣an=an﹣1(n≥2); (4)写出斐波那契数列中的前8个数. 【分析】(1)(2)代入计算即可求解;

(3)根据乘法分配律即可证明:an+1﹣an=an﹣1(n≥2); (4)根据(3)的关系可求斐波那契数列中的前8个数. 【解答】解:(1)a1=

[(

)n﹣()n].

[()﹣()]=×=1;

(2)a2=

[(

)2﹣(

)2]=

×=1;

(3)证明:an+1﹣an=

[(

n+1

)﹣(

n+1

)]﹣

[(

n

)﹣(

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n

]

[([([([(

)n+1﹣()n()n()n﹣1﹣(

)n]﹣﹣1)]﹣)]﹣

[(

[([(

)n+1﹣()n()n(﹣

)n] ﹣1)] )]

====

)n﹣1];

(4)斐波那契数列中的前8个数是1,1,2,3,5,8,13,21. 【点评】此题考查了二次根式的应用,关键是熟悉斐波那契数列的规律.

36.(2011?青岛)问题提出

我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M﹣N,若M﹣N>0,则M>N;若M﹣N=0,则M=N;若M﹣N<0,则M<N. 问题解决

如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小. 解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab. ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2. ∵a≠b,∴(a﹣b)2>0. ∴M﹣N>0. ∴M>N. 类比应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为

元/千克和

元/

千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低. (2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).

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联系拓广

小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.

【分析】类比应用(1)首先得出较得出大小关系;

﹣=,进而比

(2)由图形表示出M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c,N1=2(a﹣c+b+3c)=2a+2b+4c,利用两者之差求出即可.

联系拓广:分别表示出图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,进而表示出它们之间的差,即可得出大小关系.

【解答】解:类比应用 (1)

=

∵a、b是正数,且a≠b, ∴∴

>0, ,

∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高;

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(2)由图知,M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c, N1=2(a﹣c+b+3c)=2a+2b+4c,

M1﹣N1=2a+4b+2c﹣(2a+2b+4c)=2(b﹣c), ∵b>c,

∴2(b﹣c)>0,即:M1﹣N1>0, ∴M1>N1,

∴第一个矩形大于第二个矩形的周长. 联系拓广

设图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c, 设图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c, 设图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c, ∵L1﹣L2=4a+4b+8c﹣(4a+4b+4c)=4c>0, ∴L1>L2,

∵L3﹣L2=6a+4b+6c﹣(4a+4b+4c)=2a+2c>0, ∴L3﹣L1=6a+4b+6c﹣(4a+4b+8c)=2(a﹣c), ∵a>c,

∴2(a﹣c)>0, ∴L3>L1.

∴第二种方法用绳最短,第三种方法用绳最长.

【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质,根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键.

37.(2009?临夏州)附加题:若a=

,b=

,试不用将分数化小数的方法

比较a、b的大小.观察a、b的特征,以及你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论.

【分析】当分子比分母小1时,分子(或分母)越大的数越大. 【解答】解:a、b的特征是分母比分子大1; ∵a=∴a<b,

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=1﹣,b==1﹣,

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