第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

5ππ

-+kπ,+kπ?(k∈Z) 答案:2 ?12?12?

9.如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的部分图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.

解:连接MP(图略). T

依题意,有A=23,=3,

4

2πππ又T=,所以ω=,所以y=23sinx.

ω66当x=4时,y=23sin2π

=3, 3

所以M(4,3).又P(8,0), 所以|MP|=

(-4)2+32=5.

即M,P两点相距5 km.

π

10.(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度后得6到函数g(x)的图象,设函数h(x)=f(x)-g(x).

(1)求函数h(x)的单调递增区间; π1

α+?=,求h(α)的值. (2)若g??6?3π

2x+?, 解:(1)由已知可得g(x)=sin?3??ππ

2x+?=sin?2x-?. 则h(x)=sin 2x-sin?3?3???

ππππ5π

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

2321212π5π

-+kπ,+kπ?,k∈Z. 所以函数h(x)的单调递增区间为?12?12?πππ1

α+?=得sin?2?α+6?+?= (2)由g??3??6?3??2π12α+?=, sin?3?3?

π112α-?=-,即h(α)=-. 所以sin?3??33

[综合题组练]

1.(综合型)(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ωθ3

>0)图象的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.设∠BPC=θ,若tan=,则f(x)

24图象的对称中心可以是( )

A.(0,0) 3?C.??2,0?

B.(1,0) 5?

D.??2,0?

解析:选D.如图,连接BC,设BC的中点为D,E,F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点,即函数f(x)图象的两个对称中心,连接PD,则由题意知|PD|=4,∠BPDθθ|BD||BD|3

=∠CPD=,PD⊥BC,所以tan∠BPD=tan===,所以|BD|=3.由函数f(x)图象

22|PD|44153135

-,0?,F?,0?,所以函数f(x)图象的的对称性知xE=1-=-,xF=1+=,所以E??2??2?22225?

对称中心可以是??2,0?,故选D.

π

2.(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得

6函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的

2

,得到函数g(x)=Asin(ωx+3

π

A>0,ω>0,|φ|

2

A.函数f(x)的最小正周期为π,最大值为2

3

π?

B.函数f(x)的最小正周期为π,图象关于点??6,0?中心对称 2π

C.函数f(x)的最小正周期为π,图象关于直线x=对称

36

ππ?

D.函数f(x)的最小正周期为π,在区间??6,3?上单调递减

2ππ?2π2π

-=,所以ω==3,则解析:选D.对于g(x),由题图可知,A=2,T=4??918?3T2π?πππ

g(x)=2sin3x+φ,又由g?=2可得φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,所以φ=-. ?9?626

()

ππ

3x-?,所以f(x)=2sin?2x+?. 所以g(x)=2sin?6?6???所以f(x)的最小正周期为π,选项A,C错误.

πkππ

对于选项B,令2x+=kπ(k∈Z),所以x=-,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中

6212kππ?π,π?时,2x+π∈?π,5π?,所以f(x)-,0?(k∈Z),所以选项B是错误的;心为?当x∈?212??63?6?26?ππ?

在??6,3?上是减函数,所以选项D正确.故选D.

πππππ

ωx+?(ω>0),f??=f??,且f(x)在区间?,?上有最小值,无最大3.已知f(x)=sin?3???6??3??63?值,则ω=________.

ππ

63π

解析:依题意,当x==时,f(x)有最小值,

24ππππ3π

·ω+?=-1,所以ω+=2kπ+(k∈Z). 所以sin?3??443214

所以ω=8k+(k∈Z),

3

ππ?

因为f(x)在区间??6,3?上有最小值,无最大值, πππ

所以-≤,即ω≤12,

34ω14

令k=0,得ω=.

314答案:

3

4.(创新型)如图,将绘有函数f(x)=3sin(ωx+

)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直6

二面角,若A,B之间的空间距离为10,则f(-1)=________.

解析:由题设并结合图形可知, AB==

T

(3)2+[(3)2+()2]=

2π2π2π6+2=10,得2=4,则ω=, ωω2

T

6+2

4

π5ππ3

所以f(-1)=3sin(-+)=3sin =.

26323

答案: 2

πππ

ωx-?+sin?ωx-?,其中0<ω<3.已知f??=0. 5.设函数f(x)=sin?6?2????6?(1)求ω;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图π3ππ

-,?上的最小值. 象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在??44?4

ππ

ωx-?+sin?ωx-?, 解:(1)因为f(x)=sin?6?2???所以f(x)==

31

sin ωx-cos ωx-cos ωx 22

33

sin ωx-cos ωx 22

13

=3?sin ωx-cos ωx?

2?2?π

ωx-?. =3sin?3??

π?ωππ

由题设知f?=0,所以-=kπ,k∈Z. ?6?63故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3, 所以ω=2.

π

2x-?, (2)由(1)得f(x)=3sin?3??

πππx+-?=3sin?x-?. 所以g(x)=3sin??43??12?π3ππ2ππ

-,?,所以x-∈?-,?, 因为x∈??44?12?33?ππ

当x-=-,

123

π3即x=-时,g(x)取得最小值-. 42

π

A>0,ω>0,|φ|

(1)求函数f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心; π

4x+?=a有实数解,求a的取值范围. (2)若方程f(x)+2cos?3??T2πππ

解:(1)由图可得A=2,=-=,

2362所以T=π,所以ω=2. π

当x=时,f(x)=2,

2×+φ?=2, 可得2sin??6?ππ

因为|φ|<,所以φ=.

26

π

2x+?. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?6??πkππ

令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),

6212kππ?所以函数f(x)图象的对称中心为??2-12,0?(k∈Z). π

4x+?, (2)设g(x)=f(x)+2cos?3??ππ

2x+?+2cos?4x+? 则g(x)=2sin?6?3???ππ

2x+?+2?1-2sin2?2x+??, =2sin?6??6????π

2x+?,t∈[-1,1], 令t=sin?6??19

t-?+, 记h(t)=-4t2+2t+2=-4??4?49-4,?, 因为t∈[-1,1],所以h(t)∈?4??

999

-4,?,故a∈?-4,?.故a的取值范围为?-4,?. 即g(x)∈?4?4?4????

2

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