第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

π答案:

6

【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.

π?2m-π??是偶函数,所以解:由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin[2(x-m)+]=2sin?2x-6????6ππkππ

2m-=(2k+1),k∈Z,m=+,k∈Z,

6223

π又因为m>0,所以m的最小值为.

3

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)

的图象的两种作法

π3设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算22得出五点坐标,描点后得出图象 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 五点法 图象变换法 [注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是ωx加减多少值.

ππ

6x-?的图象向左平移个单位长度,再把所得图1.(2020·广州市调研测试)由y=2sin?6??3象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为( )

π

3x-? A.y=2sin?6??π3x-? C.y=2sin?12??

π

3x+? B.y=2sin?6??π12x-? D.y=2sin?6??

ππ?6?x+π?-π?6x-?的图象向左平移个单位长度,解析:选A.由y=2sin?可得y=2sin6??3??3?6?π

6x+2π-? =2sin?6??

π

6x-?的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y==2sin?6??ππ

3x-?的图象,故所得图象对应的函数解析式为y=2sin?3x-?,选A. 2sin?6?6???

π

2.(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)=sin 2x-3cos 2x,将y=f(x)的图象向左平移个

6单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则所得函数的最小正周期为3π

-?的值为________. ________,g??4?

π

2x-?, 解析:由题知函数f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin?3??π

将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,

6ππ

2x+-?=2sin 2x的图象, 可得y=2sin?33??

再向上平移1个单位长度得到函数y=g(x)=2sin 2x+1的图象, 3π3π2π

-?=2sin?-?+1=3. 则T==π,g??4??2?2答案:π 3

考点二 求y=Asin(ωx+φ)的解析式(基础型) 复习指导

| 了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的

图象,观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.

核心素养:直观想象

π

(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度

6

π

A>0,ω>0,|φ|<?的部分图象如图所得到函数f(x)的图象,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)?2??示,则( )

π

2x+? A.g(x)=sin?3??C.g(x)=sin 2x

2x+? B.g(x)=sin?3??π2x+? D.g(x)=sin?6??

35ππ3π2π

【解析】 根据题图有A=1,T=-=?T=π=?ω=2(T为f(x)的最小正周

46124ωπ??2×π+φ?=1?sin?π+φ?=1?π+φ=π+2kπ,k期),所以f(x)=sin(2x+φ),由f?=sin?12??12??6?62

πππππ

2x+?,将f(x)=sin?2x+?∈Z?φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin?3?3???323ππππ

x-?=sin?2?x-6?+? 的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=f??3??6?6??

=sin 2x.故选C. 【答案】 C

确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法

(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m, M-mM+m

则A=,b=.

22

(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=.

T(3)求φ,常用的方法有:

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上);

②特殊点法:确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:

π

“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ =+2kπ(k∈Z);“最小值点”(即图象的

23π

“谷点”)时ωx+φ=+2kπ(k∈Z).

2

ππ

A>0,ω>0,-<φ

π

的最小正周期是π,且当x=时,f(x)取得最大值2,则f(x)=________.

6

π

解析:因为函数f(x)的最小正周期是π,所以ω=2.又因为x=时,f(x)取得最大值2.

6所以A=2,

ππ

同时2×+φ=2kπ+,k∈Z,

62πππ

φ=2kπ+,k∈Z,因为-<φ<,

622

ππ

2x+?. 所以φ=,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin?6??6

π2x+? 答案:2sin?6??

2.(2020·兰州实战考试)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f(1)=________.

2ππ

解析:由题意得,A=3,T=4=,ω=.又因为f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数,所以

ω2ππ?ππ

φ=+kπ,k∈Z,由0<φ<π,取k=0,则φ=,所以f(x)=3cos??2x+2?,所以f(1)=-3. 22

答案:-3

考点三 三角函数模型的简单应用(应用型) 复习指导

| 会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要

函数模型.

核心素养:数学建模

(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图,点A,B分别是圆心在坐标原点,半

ππ

cos,sin?开始,按逆时针方向以角速度径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0?3??32 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.

π

(1)求t=时,A,B两点间的距离;

4

π

0,?时,y的取值范(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈??2?围.

πππ5ππ

【解】 (1)连接AB,OA,OB,当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=,所以∠AOB

423622π

=. 3

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