第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、知识梳理

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 A 振幅 周期 2πT= ω频率 1ωf== T2π相位 初相 ωx+φ φ 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) φ- ω0 0 πφ- 2ωωπ 2A π-φ ωπ 0 3πφ- 2ωω3π 2-A 2π-φ ω2π 0 3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)

常用结论

φ

1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个

ω单位长度.

π

2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+(k∈Z)确定;对称中心由ωx+φ=

2kπ(k∈Z)确定其横坐标.

二、教材衍化

1π?

1.函数y=2sin??2x-3?的振幅、频率和初相分别为( ) π

A.2,4π,

31π

C.2,,-

4π3

B.2,,

4π3π

D.2,4π,-

3

1ω1π

解析:选C.由题意知A=2,f===,初相为-.

T2π4π3

2.函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________.

解析:根据函数图象变换法则可得. 1

答案:y=sinx

2

3.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:

月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________. 2π解析:设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,

ωπππ

x+φ?+6.因为当x=1时,y=6,所以6=sin?+φ?+6,结合表所以ω=,所以y=sin??2??2?2ππ?πππ

x-+6=6-cos x. 中数据得+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,所以y=sin??22?222

π

答案:y=6-cos x

2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

1

(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函21

数解析式为y=sin x.( )

2

ππ

2x-?的图象.( ) (2)将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin?3??3(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.( )

(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距T

离为.( )

2

π

(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+(k∈Z).( )

2答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区

| (1)搞不清ω的值对图象变换的影响;

(2)确定不了函数解析式中φ的值.

π

1.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则得到的图象对应的函数表达

12式为f(x)=________.

π

解析:函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应的函数表达式为

12

?x+π??=2sin?2x+π?. f(x)=2sin ?26???12???

π

2x+? 答案:2sin?6??

π

ω>0,|φ|<?的部分图象如图所示,则f(x)=________.2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)? 2??

解析:设f(x)的最小正周期为T, Tπ

根据题图可知,=,

22所以T=π,故ω=2,

ππ

2×+φ?=0(增区间上的零点)可知,+φ=2kπ,k∈Z, 根据2sin??12?6π

即φ=2kπ-,k∈Z,

6ππ又|φ|<,故φ=-.

26π

2x-?. 所以f(x)=2sin?6??π2x-? 答案:2sin?6??

考点一 五点法作图及图象变换(基础型)

复习指导

| 能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象.

核心素养:直观想象

已知函数f(x)=3sin 2x+2cos2x+a,其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期; (2)画出f(x)在[0,π]上的图象. 【解】 (1)f(x)=3sin 2x+2cos2x+a =3sin 2x+cos 2x+1+a

π

2x+?+1+a的最大值为2, =2sin?6??2π

所以a=-1,最小正周期T==π.

2x+?,列表: (2)由(1)知f(x)=2sin?6??x π2x+ 6π2x+? f(x)=2sin?6??画图如下: 0 π 61 π 6π 22 5π 12π 0 2π 33π 2-2 11π 122π 0 π 13π 61

【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下,函数y=2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y=f(x)的图象.

π

解析:将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2sin 2x的图象,

4ππ

再将y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,可得函数y=2sin(2x+)的图象,综上可得,

126ππ

2x+?的图象可以由函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到. 函数y=2sin?6??6

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