第七章 空间解析几何与向量代数
向量代数部分
一． 填空题
1．已知向量a,b,c是两两垂直的单位向量，且p??a??b??c，其中?,?,?是
____. 常数，则|p|?__________2．向量a??4,?3,4?在向量b??2,2,1?上的投影为__________________.
3．已知向量a,b,c是两两垂直，且|a|?1,|b|?2,|c|?3,则s?a?b?c与c的夹角是__________________.
4．已知向量a和b之间的夹角是??120o，|a|?3,|b|?5,|a?b|?__________.
则
1,2,??,b??2?,1,1?,且a?b，则??________5．设a??.
6．三向量a,b,c的混合积a?b?c的几何意义是____________________________. 7．已知向量a,b,c，其中c?a,c?b,又a,b?a?b?c=___________.
?6，又|a|?6,|b|?|c|?3,则
8．三棱锥的顶点是A(1,1,1),B(5,4,?1),C(2,3,5),D(6,0,?3),则它的体积为__________.
9．空间四个点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)是否是在同一个平面上？_________. 10．
设a?b?c=2，则(a?b)?(b?c)?(c?a)?___________.
二． 选择题
1．设向量a,b相互平行，但方向相反，则当|a|?|b|?0时必有______. (A) |a?b|?|a|?|b|; (B)|a?b|?|a|?|b|; (C) |a?b|?|a|?|b|; (D) |a?b|?|a|?|b|. 2．已知向量a和b之间的夹角是
?,且|a|?1,|b|?2,则| |a?b|?_____. 45.
(A) 1； (B)1?2; (C) 2； (D) 3．已知非零向量a,b满足|a?b|?|a?b|,则必______.
(A) a?b?0; (B)a?b?0; (C) a?b?0; (D) a?b?0. 4.设三向量a,b,c满足关系式a?b?c?0，则a?b?______.
(A) c?b; (B) b?c; (C) a?c; (D) b?a. 5.已知平行四边形的四个顶点A,B,C,D,点D是与点B相对的点，记
a?OA,b?OB,c?OC,则OD为_____.
????(A) c?b; (B)a?b?c; (C) a?b?c; (D) b?c. 6．已知向量a和b的模分别为|a|?2,|b|?2,且a?b?2，则a?b?____. (A) 2； (B)22; (C)1； (D)
2. 27．设向量d与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?,?,?(0??,?,???2)，则
cos2??cos2??cos2??______.
(A) 0； (B)1； (C)2； (D) 3. 8．设a?i?j?k，则垂直于a且垂直于y轴的单位向量为_____. (A) ?33(i?j?k); (B) ?(i?j?k); 3322(i?k). (i?k); (D) ?22(C) ?9. 已知非零向量a,b满足(a?3b)?(7a?5b),(a?4b)?(7a?2b),则a,b之间的夹角为_____.
???2?. (A) ; (B) ; (C) ; (D)
6323???1?10.已知梯形OABC,CB//OA,|CB|?|OA|,若OA?a,OC?b,则AB?_____.
2???ab;aa?b; (B)a? (C) ?b; (D) b?.
2222三．解答题
(A)
1．从点A(2,?1,7)沿向量 a??8,9.?12?的方向取线段|AB|=34，求B点的坐标.
2．一直线通过点B(1,2,3), 且与向量a??6,6,7?平行，求点A(3,4,2)到此直线的距离d.
3.一直线通过点B(?2,1,3)和C(0,?1,2)，求点A(10,5,10)到此直线的距离d. 4．已知三角形的一个顶点A(2,?5,3)及两边的向量AB??4,1,2?和BC??3,?2,5?，求其余的顶点以及向量CA和?A. 5．已知|a|?2,|b|?5,?a,b??直？
6．已知单位向量OA与三个坐标轴的夹角相等，点B是点M(1,?3,2)关于N(?1,2,1)的对称点，求OA?OB.
7．三角形的三个顶点是A(3,4,?1),B(2,0,3),C(?3,5,4)，求该三角形的面积. 8．判断下列四点是否共面：
(1)M1(2,3,0)，M2(?2,?3,4)，M3(0,6,0)，M4(2,0,1); (2)M1(1,1,?1)，M2(?2,?2,2)，M3(1,?1,2)，M4(2,2,2).
?????2?向量(?a?17b)与(3a?b)垂,问系数?为何时，
3?9．设四面体以点O(0,0,0)，A(5,2,0)，B(2,5,0)，C(1,2,4)为其顶点，求它的体积，并计算三角形?ABC的面积和由点O引向该面的高.
10．单位圆的圆周上有相异的两点P和Q，向量OP与OQ的夹角为?(0????)，设a,b为正常数，求极限lim[|aOP|?|bOQ|?|aOP?bOQ|].
??0?四．证明题
1．设三角形ABC的形心为G，任一点O到三角形三顶点的向量分别为
1??????OA?a,OB?b，OC?c，证明：OG?????1(a?b?c). 22．设一直线通过点A(a,b,c)且平行于向量，证明点M(x0,y0,z0)到该直线的距
?|r?s|离为d=，其中r?AM.
|s|3．设非零向量a,b,c中的任意两个向量不共线，而a?b与c共线，b?c与a共线，证明：a?b?c?0.
4．已知三点A，B，C的向径分别为r1?2i?4j?k,r2?3i?7j?5k，
r3?4i?10j?9k，证明A，B，C三点共线.
5．试证向量a??i?3j?2k,b?2i?3j?4k，c??3i?12j?6k 在同一平面上，并沿a和b分解c.
6．若三向量p ,q ,r不共面，求证：2p?3q,3q?5r,2p?5r必共面.
7．已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是xoy平面上的三点，试用向量的方法证明：三角形ABC的面积为 S??
1x22x3x1y11y21. y31空间解析几何部分
一． 填空题
1. 已知直线L过点M(0,?3,?2)且与两条直线L1:x?3y?2z?1??, 321?x??1?2t,?L2:?y?5?4t,都垂直，则直线L的方程是_______________________________.
?z?2?3t?2．直线
xy?7z?3??上与点(3,2,6)的距离最近的点是_________________. 12?1?x?y?z?1?0,?x?2y?z?2?0,3．直线?和直线?间的最短距离是________.
?2x?y?z?2?0?x?2y?2z?4?0?x?acost,?4．曲线?y?asint,在xoy坐标面上的投影曲线是________________________.
?z?bt??x??t?2,?5．过点M(1,2,?1)且与直线?y?3t?4,垂直的平面是______________________.
?z?t?1?x?1y?2z?3x?2y?1z????，则过L1且平行于L2，L2:10?1211的平面方程为________________________.
6．已知直线L1:?x?y?z?1?0,7．已知直线L:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线L与平面
?2x?y?z?2?0?的位置关系是_____________.
8．在由平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所决定的平面束内，有两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,?3,1),这两个平面的方程分别是_________________________________________________.
?f(y,z)?0,9．以曲线?为母线，以z轴为旋转轴的旋转曲面的方程为___________.
?x?0?x2y2?10．方程?4?9?1,在空间Oxyz中的图形是____________________________.
??y?2
二．
选择题
x?1y?1z?1??，L2:x?1?y?1?z相交于一点，则12?1． 设空间两直线L1:??_____.
(A) 1； (B)0； (C)
55.； (D) ?. 43?x?3t,?x?2y?z?1?0,x?3y?4z???，L2:?y??1?3t,L3:?2．空间三直线L1:则?2?53?2x?y?z?0,?z?2?7t,?必有_____.
(A) L1//L3； (B) L1//L2； (C) L2?L3； (D) L1?L2.
?4x?y?3z?0,3．设空间直线L1:??2x?3y?2z?9?3x?2y?z??5,与L2:??x?3y?2z?3的位置关系为
_____.
(A)平行不重合； (B)相交于一点； (C)重合； (D) 异面.
4．过点(0,2,4)且与平面x?2z?1及y?3z?2都平行的直线是_____.
xy?2z?4xy?2z?4???； (B) ?； 10201?3xy?2z?4??(C) ； (D) ?2x?3(y?2)?z?4?0. ?231(A)
?x2y2z2?5．曲线?16?4?5?1,在xoy坐标面上的投影柱面是_____.
??x?2z?3?0(A) x2?20y2?24x?116?0 (B)20y2?4z2?60z?35?0；
??x2?20y2?24x?116?0,(C) ?； (D)
??z?0??20y2?4z2?60z?35?0,. ???x?0三． 解答题
1．已知三点A(?5,?11,3),B(7,10,?6),C(1,6,?2)，求一平面平行于三角形?ABC所在的平面且与它的距离等于2.
2．求点(3,?1,?1)在平面x?2y?3z?26?0上的投影点. 3．求点P(0,1,1)在平面x?y?z?0上的对称点.
4．试在平面x?y?z?1与三个坐标面所构成的四面体内求一点，使之与四面体各面的距离相等，并求内切于四面体的球面方程.
x?1yz?1??5．求直线在平面x?y?2z?1?0上的投影直线l的方程，并求l11?1绕y轴旋转一周而得到的曲面方程.
?x?z?4?0,?6．求过直线?且与平面x?4y?8z?12?0的夹角为的平面方程.
4?x?5y?z?0?x?0,7．求一平面，使其垂直于平面z?0，且通过点P(1,?1,1)到直线l：?的
?y?z??1垂线. 8．求
?y?2?0,(1)点P(0,?1,1)到直线l：?的距离；
x?2z?7?0?(2)过点P(0,?1,1)且垂直相交于直线l的直线方程.
9．设直线l在三点P0(0,0,0)，P1(2,2,0)，P2(0,1,?2)所确定的平面上，且与直线
x?1y?1??2z垂直相交，求直线l的方程. 32x?3y?5zx?10y?7z??及直线??相交，且与直线10．求与直线231541x?2y?1z?3??平行的直线方程. 871综合习题
一． 填空题
1．在空间直角坐标系中，方程2．位于直线
x2a2?y2b2?z?1是_______________面. cx?1y?2z?3x?1y?13z或直线????上且与点P(?1,0,1)的距
123051离为23的点是__________________________.
?y?x?3,?y?2x,3．求直线?与直线?之间的距离为______.
z?xz?x?1??4．以直线x?y?z为对称轴，半径为1的圆柱面方程为____________________. 5．设a,b是两非零向量，且b?1，则极限lim二． 选择题
??(x?4)2?(y?7)2?(z?1)2?36,1．圆?的中心坐标是_____.
?3x?y?z?9?0?a?xb?axx?0?____________.
(A) (6,1,0); (B) (4,7,?1); (C) (1,6,0); (D) (0,6,1). 2．已知直线l1过点(0,0,?1)且平行于x轴，l2过点(0,0,1)且垂直于xoz平面，则到这两直线等距离点的轨迹是_____.
(A) x2?y2?4z; (B) x2?y2?2z; (C) x2?y2?z; (D) x2?y2?4z.
3*．设?1??a1,a2,a3?，?2??b1,b2,b3?，?3??c1,c2,c3?，则三条平面直线
a1x?b1y?c1?0，a2x?b2y?c2?0，a3x?b3y?c3?0（ai?bi,i?1,2,3）交
22于一点的充要条件是______.
(A) ?1, ?2,?3线性相关； (B) ?1, ?2,?3线性无关；
(C) 秩r(?1,?2,?3)=秩r(?1,?2) (D) ?1, ?2,?3线性相关，?1, ?2线性无关.
a1b1b2b3c1c2?0，则直线c34. 设
a2a3x?a3y?b3z?c3??a1?a2b1?b2c1?c2与直线
x?a1y?b1z?c1______. ??a3?a2b3?b2c3?c2(A)相交于一点； (B)重合； (C)平行但不重合； (D) 异面. 5. 三个平面：x?cy?bz,y?az?cx,z?bx?ay经过同一条直线的充要条件是_____.
(A) a2?b2?c2?1; (B) a2?b2?c2?2abc?1; (C) a2?b2?c2?abc?1; (D) a2?b2?c2?2. 三． 解答题
1. 求x2?y2?2x?4y?9.?x2?y2?6x?2y?11的最小值.
2. 已知点P(1,0,?1)与Q(3,2,1)，在平面x?2y?z?12上求一点M使得 |PM|+|MQ|最小.
xy?bz?绕z轴旋转一周而成的曲面方程，并就a,b的值讨论方程3. 求直线?a01所表示的曲面.
?x2?y2?R2,4. 一柱面的准线为曲线L?，母线平行于向量a=?1,1,1,?，求该柱面
?z?0方程，并求曲线L在平面x?y?z?1上的投影曲线方程.
?x?1,?y?1,?z?1,?x?y,5. 求与四条直线?，?，?，?都相交的直线方程.
z?0y??6zy?0x?0?????x?y?3,6. 光线沿直线?投影到平面x?y?z?1?0上，求反射线所在的直线方
?x?z?1程.
?x?y?z?1,?x?2y?z?2,7. 求直线?和直线?间的最短距离.
?2x?y?z?2?x?2y?2z??4?x2?y2?1,8. 一直线过点A(0,2,1)和点B(x0,y0,0)，现点B沿曲线?运动一周，求
?z?0该直线运动所形成的轨迹曲面方程.
第七章自测题
一. 填空题（共20分）
??????1. 已知|a|?3，|b|?26，|a?b|?72，则a?b? .
2. 过点(?1,0,4)，平行于平面3x?4y?z?10?0，且与直线x?1?y?3?的直线方程为 .
z相交23. 设一平面过原点和点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8?0垂直，则此平面方程为 .
4. 动点到两定点P(c,0,0)，Q(?c,0,0)的距离之和为2a（a?c?0），则动点的轨迹方程为 .
5. 曲线L：z?x2?2y2，z?2?x2关于xOy平面的投影柱面方程是 .
二.选择题（共20分）
?????????????1．已知单位向量a，b，c满足a?b?c?0，则a?b?b?c?c?a?_____. (A) ?3/2； (B) ?1； (C) 1； (D) 3/2.
?? 2．已知向量a的终点坐标是(2,?1,0)，模|a|?14，其方向与向量{?2,3,6}同向，
?则向量a的起点坐标是_____.
(A) (?6,7,12)； (B) (6,?7,?12)； (C) (6,7,?12); (D) (6,?7,12).
???a 3．设，b，c为三个任意向量，则下列等式正确的是______. ??????????(A) a?b?b?a； (B). (a?b)c?a(b?c)；
??????????(C)(a?b)?c?c?(b?a)； (D) |a?b|?|a|?|b|.
4．平面x?y?z?5?0和5x?8y?4z?36?0确定的直线的对称式方程为____.
xy?4z?1xy?4z?1??(A) ?； (B) ?；
41?3413xy?4z?1xy?4z?1??(C) ?； (D) ?.
4?1?341?3 5．两平行平面19x?4y?8z?21?0和19x?4y?8z?42?0之间的距离为____. (A) 1； (B) 1/2； (C) 2； (D) 21. 三.计算题（每小题5分，共50分）
1. 已知向量AB?{?3,0,4}，AC?{5,?2,?14}，试求?BAC角平分线上的单位向量.
??2. 已知向量a?{1,1,4}及平面方程x?2y?2z?3?0，求向量a在平面法线向量?n上的投影和投影向量.
xyz?23. 过点M0(1,1,1)且与直线??垂直相交的直线的方程.
11?3x?1y?1z??的交点，且与平面4. 求通过平面?1：3x?y?z?5?0与直线1?11?2：3x?y?z?5?0垂直的直线的方程.
?y?4x?7y?5z?3?5. 直线L过点P(?3,5,?9)且与直线L1：?及L2：x?都相32?z?5x?10交，求直线L的方程.
6. 已知直线L为两个平面x?5y?7z?3?0和x?2y?3z?6?0的交线，求直线L在各坐标面上的投影线方程.
7. 设两个平面的方程分别为?1：2x?y?z?7?0和?2：x?y?2z?11?0. (1)求两个平面的夹角;
(2)求两个平面的角平分面的方程；
(3)求通过点M0(1,?1,1)与两个平面?1和?2交线平行且与平面?2垂直的平面方程.
8. 求过直线
(4,?3,1).
x?3y?2z?2??的两个垂直平面方程，其中一个平面通过11?759. 求点M0(2,3,1)在直线x??1?t，y??2?2t，z??2?3t上投影点的坐标. xyz10. 求直线??绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程.
326四.证明题（共10分）
?1． 线L1过点M1(x1,y1,z1)，其方向向量为s1，而直线L2过点M2(x2,y2,z2)，
?其方向向量为s2，且L1和L2不平行.试证明直线L1和L2之间的最短距离为
??|M1M2?(s1?s2)|. d???|s1?s2|2．两平行平面与任意第三个平面的交线互相平行.
思考题
1． 在空间直角坐标系中，空间的点是如何与数建立联系的？它有什么意义？ 2． 空间的向量是如何用数来表示的？它有什么意义？ 3． 在向量的数量积.向量积运算中，消去律是否成立？ 4． 判定向量平行.垂直.共面的条件是什么？ 5． 平面方程有哪几种形式？如何判断平面之间的关系？ 6． 直线方程有哪集中形式？如何判断直线之间的关系以及平面和直线之间的关
系？
第七章 向量代数与空间解析几何参考答案与提示
向量代数部分
一． 填空题 arccos31.
?2??2??2.. 2. 2. 3.
14
4. 19. 5. ?23.
6. 以 a,b为相邻边的平行四边形的面积. 7. ?27. 8. 13. 9. 是. 10. 4.
二． 选择题
1.(A) 2.(D) 3.(C) 4.(B) 5.(B) 6.(A) 7.(C) 8.(C) 9.(B) 10.(D).
三． 解答题
1. B(18,17,?17). 2. d?20211. 3. d?102.
4. B(6,?4,5).C(9,?6,10).CA?????7,1,?7?.?A?arccos413231. 5. ??40. 6. B(?3,7,0).OA???OB???13??7,?3,10?.
7.
15622. 8. (1)共面. (2)不共面. 9. VOABC?423. S1????7ABC?2|AB?AC|?63. h?63. 10.
aba?b.
提示：设
P(cos?,sin?),Q(cos(???),sin(???)),aOP???bOQ????acos??bcos(???),asin??bsin(???)?,|aOP???bOQ??
|?a2?b2?2abcos?. lim1[|aOP??|?b|OQ??|?|aOP???bOQ??|]=
??0?2?lim1ab
??0?2[a?b?a2?b2?2abcos?]?a?b.则
四． 证明题
1. 提示：先证明GA?GB?GC?0. 2. 提示：d?|AM0|sin?AM0,s?. 3. 提示：证明a?b??c. 5. 提示：c?5a?b.
??????????空间解析几何部分
一． 填空题
xy?3z?2??. 2. (3,?1,0). 3. 1. 1. 10?7?16?x2?y2?a2,4. ? 5. x?3y?z?4?0.
z?0.?6. x?3y?z?2?0. 7. 垂直. 8. 3x?4y?z?1?0,?2y?5z?3?0.
???x?20,?x??20,9. f(?x?y,z)?0. 10. 两条直线：?3和?3
???y?2?y?2.22二． 选择题
1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5(A).
三． 解答题
1. 8x?y?13z?12?626?0,或8x?y?13z?12?626?0,
4112. (5,3,5). 3. (?,?,?).
3331313134.(?,?,?), 262626(x?13213213213?)?(y??)?(z??)??. 26262636?x?3y?2z?1?0,5. l0:?或
x?y?2z?1?0,?1xy2. ??42?1z?222(y?1)2. l0绕y轴旋转一周的曲面方程为：x?z?4y?46. x?20y?7z?12?0. 7. 点P到直线l的垂线方程为
x?1y?1z?1， ??111?22过该垂线且垂直于平面z?0的平面方程为x?2y?1?0. 8.（1）d?6.
（2）点P在直线l上的垂足为(1,?2,3). 过点P且与直线l垂直并相交的直线方程为
xy?1z?1??. 1?12194z?x?73?3. 提示：9. l1的方程为由题意知直线l1过l2与平面的交点. ?1?4106525y?z?x?282?2. 提示：设所求直线与l的交点为10. ?1871y?(2t1?3,3t1?5,t1)，与l2的交点为(5t2?10,4t2?7,t2),可求出两交点依次为
(?28,?652528026962,?),(?,?,?). 22333
综合习题
一． 填空题
1. 双曲抛物面.
5101534272. (1,2,3),(?,?,?),(1,?,).
77713133.
2. 24. (y?z)2?(z?x)2?(x?y)2?3. 5.
1. 2
二． 选择题
1.(C) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(B).
三． 解答题 1.
22. 提示：由于x2?y2?2x?4y?9.?x2?y2?6x?2y?11
?(x?1)2?(y?2)2?(2?0)2.?(x?3)2?(y?1)2?(2?1)2, 问题则转化为在平面z?2上求一点，使得该点到点A(1,2,0)与到点B(3,?1,1)的距离之和最小，而这个最小的距离之和等于点B(3,?1,1)到点A(1,2,0)关于平面z?2的对称点A?(1,2,4)的距离，即所求的最小值是|A?B|?22. 2. M(272017,?,). 提示：先求点P关于平面的对称点P?，求出点Q和点P?所777决定的直线，该直线在平面上的交点即为M. 其中，点P?(5,?8,3)，Q和点P?所决定的直线为
x?3y?1z?2??. 2?913. x2?y2??2z2??2.
当??0,??0时，方程为圆柱面； 当??0,??0时，方程为圆锥面； 当??0,??0时，方程为单页双曲面. 4. (x?z)2?(y?z)2?R2..
1x?1y3. 提示：设分别与四条直线相交的交点坐标为A(1,0,x)， 5. ??36?2z?B(y,1,0)，C(0,z,1)，D(?6u,?6u,u). x?5y?2z?4??. ?51117. .
36.
8. x2?(2z?y)2?(z?1)2.. 四． 证明题
1. 提示：证明(a?b)?(b?c)?(c?a)?0.
2. 提示：A，B，C三点共线的充要条件是(a?b)?(b?c)?0. 3. 距离d?1x?8yz?2??. ，公垂线方程为
31?224. 提示：任取曲面?上的一点M0(x0,y0,z0)，证明过M0(x0,y0,z0)且平行于直
线L的直线都在曲面?上.
x2y2z25. 提示：单叶双曲面2?2?2?1的方程变形为
abcxzxzyy(?)(?)?(1?)(1?)， acacbby?xz??t(1?),?acb 可得该曲面上的直线：?yxz?1??t(?),ac?bx2y2z2当取任何值时，上述直线都在单叶双曲面2?2?2?1上，故该曲面是由直线簇
abc构成.
y?xz??t(1?),?acb 另外，还可得到该曲面上的另一簇直线：?yxz?1??t(?).ac?b6. 提示：设点M0(x0,y0,z0)是抛物面上的任意点，并设过点M0(x0,y0,z0)的直线
x?x0y?y0z?z0，证明无论m,n,p为何，该直线都不在该抛物面上. ??mnp第七章自测题
一.填空题 1．?30 2.
x?1yz?43?? 3. x?y?z?0 1619282x2y2z2?2?1 5. x2?y2?1 4. 2?222aa?ca?c二.选择题
1. A 2. B 3. C 4. A 5. A 三.计算题
7?211??71414??1. ??, 2. ,?,?,? ?3?999??666?3.
x?4y?4z?3x?3y?5z?9x?1y?1z?1?????? 4. 5. 3323?111222?x?0?y?0?z?06. ? ? ?
?7y?4z?3?0?7x?29z?36?0?4x?29z?33?07. (1)
? (2) x?2y?z?4?0,x?z?6?0 (3) x?y?2?0 38. 3x?4y?z?1?0,x?2y?5z?3?0
4819132z 9. (,,) 10. x2?y2?77736四.证明题
???1. 设直线L1与L2的公垂线为L，其方向向量即为s?s1?s2，于是L1与L2之间的
?最短距离为M1M2向量在s上的投影的绝对值，所以有
??M1M2?s1?s2?MM|? d?|Prjs??12|s1?s2|2. 设两平行平面?1,?2的法向量分别为n1,n2，任意第三个平面?的法向量为n1，
????则?1与?的交线的方向向量为s1?n1?n，?2与?的交线的方向向量为s2?n2?n，????????又n1?kn2，所以s1?n1?n?k(n2?n)?ks2，即s1与s2平行.