数学试卷
1|k|4?6k2|k|4?6k210?所以△AMN的面积为S?|MN|?d?. 由，解得2221?2k1?2k3k??1.
25.【2019高考山东文21】 (本小题满分13分)
3x2y2如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成的矩
2ab形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求
|PQ|的最大值及取得最大值时m的值. |ST|c3a2?b23【答案】(21)(I)e????……①
a2a24矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8……② 由①②解得：a?2,b?1，
x2∴椭圆M的标准方程是?y2?1.
4?x2?4y2?4,?5x2?8mx?4m2?4?0， (II)??y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?，
55由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5. 4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2. 55?5?当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1.
①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m)， |PQ|45?m2446?????1， |ST|5(3?m)25t2t2|PQ|13452其中t?m?3，由此知当?，即t?,m???(?5,?1)时，取得最大值5. |ST|t4335数学试卷
②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，
|PQ|52时，取得最大值5.
|ST|35|PQ|2?5?m2， |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|52综上可知，当m??和0时，取得最大值5.
|ST|3526.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的
圆恒过y轴上某定点。
考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。
难度：难。
分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。
解答：
22（I）设A(x1,y1),B(x2,y2)；则x1?2py1,x2?2py2
222OA?OB?x12?y12?x2?y2?2py?1y?y12py?22?(y1?y2)(2p?y1?y)2?0?y?1y(22p,y,y1?0)2
2 得：点A,B关于y轴对称（lfxlby）
OA?OB?AB?83?A(?43,12),B(43,12)
x2?2?抛物线E的方程为x2?4y 代入抛物线E的方程得：p?2y
数学试卷
2x0121 （II）设P(x0,)；则y?x?y??x
442 过点P的切线方程为y?121112 x0?x0(x?x0)即y?x0x?x042242x0?4 令y??1?Q(,?1)
2x02x0?4 设M(0,t)满足：MPMQ?0及MP?(x0,y0?t),MQ?(,?1?t)
2x022 得：4(t?t?2)?(1?t)x0?0对x0?0均成立
?t?t?2?0,1?t?0?t?1 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)
27.【2019高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x?y?1
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?2）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证：OP⊥OQ [解]（1）双曲线C:x21222222?y2?1，左焦点F(?62262,0).
22， ……22 设M(x,y)，则|MF|2?(x? 由M是右支上一点，知x? 所以M(6222)?y2?(3x?)分
62，所以|MF|?3x?22?22，得x?.
,?2). ……5分
22 （2）左顶点A(?,0)，渐近线方程：y??2x.
2x平行的直线方程为：y?2(x?22 过A与渐近线y?)，即y?2x?1.
数学试卷
2 解方程组??y??2x，得???x??4?y?2x?1??y?1. ……8分
2 所求平行四边形的面积为S?|OA||y|?24. ……10分
（3）设直线PQ的方程是y?kx?b.因直线与已知圆相切，故
|b|k2?1?1，
即b2?k2?1 (*).
由??y?kx?b(2?2x2?y2?1，得?k2)x2?2kbx?b2?1?0. 设P(x??x1?x2?2kb1, y1)、Q(x2, y2)，则?2?k2??x1x2??1?b2. 2?k2 y1y2?(kx1?b)(kx2?b)，所以
OP?OQ?x221x2?y1y2?(1?k)x1x2?kb(x1?x2)?b
(1?k2)(?1?b2)2?k2?2k2b2?1?b2?k22?k2?2?k2.
由(*)知OP?OQ?0，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为
2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本
题属于中档题 ．
28．【2019高考新课标文20】（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r， 则|FE|=p，|FA|?|FB|=|FD|=r，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵?BFD?900，∴|FA|?|FB|=|FD|=2p，|BD|=2p，
设A(xp0，y0)，根据抛物线定义得，|FA|=
2?y0， ∵?ABD的面积为42，∴S1p1?ABD=2|BD|(y0?2)=2?2p?2p=42，解得p=2，
∴F(0,1), FA|=22， ∴圆F的方程为：x2?(y?1)2?8；
(Ⅱ) 【解析1】∵A，B，F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径，
?ADB?900,