函数的奇偶性和周期性 一、选择题
1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )
1＋xx－xA．y＝e－e B．y＝lg
1－xC．y＝cos2x D．y＝sinx＋cosx 答案 D
2．(2011·山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 答案 D
3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
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4．若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax＋bx＋cx是( ) A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案 A
3
解析 由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax＋cx是奇函数．
x5．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3 答案 D
－x解析 令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－2x＋b，又因为f(x)在R上是奇函数，
－x所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，即b＝－1，f(x)＝－2＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.
6．(2011·北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，若f(2)>1，f(3)＝a，则( )
A．a<－3 B．a>3 C．a<－1 D．a>1 答案 C
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，又f(2)>1，∴a<－1，选择C.
3
7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝x－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 答案 B
解析 当x<0时，－x>0，
33
∴f(－x)＝(－x)－8＝－x－8， 又f(x)是偶函数，
3
∴f(x)＝f(－x)＝－x－8，
3??x－8，x≥0
∴f(x)＝?. 3
?－x－8，x<0?
5
??x－2－8，x≥0
∴f(x－2)＝?3
?－x－2－8，x<0???x≥0
???x－23
，
，
－8>0x－23－8>0
解得x>4或x<0.故选B. 二、填空题
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________. 答案 －1
2
解析 f(x)＝x＋(a＋1)x＋a.
∵f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
53
9．设f(x)＝ax＋bx＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.
答案 31
53
解析 f(2011)＝a·2