线交EF于G.求证：EG＝GF.
证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、 AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知 S△BEF＝S△DEF.
有S△BEC＝S△ⅡKG－ *5ⅡDFC. 可得MC＝CN. 所以,EG＝GF.
例9 如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁
A切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB
C的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平 BFP分BC. QKE证明：如图10,过点K作BC的行平线分别 交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、
OOE、OF.
图10 由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.
由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有 ∠FOQ＝∠FKQ.
由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆.有 ∠EOP＝∠EKP.
显然,∠FKQ＝∠EKP,可知 ∠FOQ＝∠EOP. 由OF＝OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 则OQ＝OP.
于是,OK为PQ的中垂线,故 QK＝KP.
所以,AK平分BC.
综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD中,AB＝CD,M、N分别为AD、BC的中点,延长BA交直线NM于E,延长CD交直线NM于F.求证：∠BEN＝∠CFN. (提示：设P为AC的中点,易证PM＝PN.)
2. 设P为△ABC边BC上一点,且PC＝2PB.已知∠ABC＝45°,∠APC＝60°.求∠ACB. (提示：过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证△ACD∽△PBA.答：75°)
3. 六边开ABCDEF的各角相等,FA＝AB＝BC,∠EBD＝60°,S△EBD＝60cm2.求六边形ABCDEF的面积.
(提示：设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与EMQD面积相等.答：120cm2) 4. AD为Rt△ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC:AB＝k.求AE:EC.
(提示：过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC＝1,有AD＝k,DC＝k2.答：1) 21?k5. AB为半圆直径,C为半圆上一点,CD⊥AB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证：
ADCF＝. DEFB1a1b(提示：过点F作AB的平行线交CE于点H.H为△CDF的垂心.)
6. 在△ABC中,∠A:∠B:∠C＝4:2:1,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.求证：＋＝
1. c(提示：在BC上取一点D,使AD＝AB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于点E、F.)
7. 分别以△ABC的边AC和BC为一边在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点.求证：P点到边AB的距离是AB的一半.
8. △ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G.求证：FH＝HG.
(提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.)
9. AD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙O的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证：OM＝ON.
(提示：过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.AB∥GF.)
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.
1 挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆
A例1 如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC
上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝
E∠A.求证：BD＝2CD.
分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.
BCD容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能 GF直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆 图1于F,则可得EB＝EF,从而获取.
证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.
又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE. 故EB＝EF.
作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF. 因∠GEF＝
1∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝FC. 2 于是,BF＝2CF.故BD＝2CD. 1.2 利用四点共圆 CB例2 凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝ OD∠BCD＝90°,
AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2. A则sin∠AOB＝____.
分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D
P四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD图2即可.
解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.
设AD＝x,有AP＝3x,DP＝2x.由割线定理得(2＋3x)3x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝23－2,BC＝
1BP＝4－3. 2 由托勒密定理有
BD·CA＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.
又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝
33. 2 故sin∠AOB＝
15?63. 26A例3 已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH ⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证：
3△ABC的面积S＝AP·BD.
4分析：因S△ABC＝
BPQDC图3H323BC＝AC·BC,只 44须证AC·BC＝AP·BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为
BD与AH交点).
证明：记BD与AH交于点Q,则由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ. 又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.
从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆. ∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ, ∴△APC∽△BCD. ∴AC·BC＝AP·BD. 于是,S＝
33AC·BC＝AP·BD. 44
2 构造相关的辅助圆解题
有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关
的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆
例4 如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC AB＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.
E分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在 CD半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与 p、q的关系.
图4解：延长CD交半径为p的⊙D于E点,连结AE.
显然A、B、C在⊙D上. ∵AB∥CD,
∴BC＝AE. 从而,BC＝AE＝q.
在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故
22 AC＝CE?AE＝4p?q.
222.2 联想直径的性质构造辅助圆
例5 已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上侧的A