6.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD?为边作等边△ADE。 （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论。 一、同步知识梳理 知识点3：平行四边的判定： ?两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）?（1）边?两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ?一组对边平行且相等的四边形是平行四边形?（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）对角线：对角形互相平行的四边形是平行四边形 二、同步题型分析 题型1：平行四边形的判定 例1：如图7所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（ ） 图7 A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个 解析：本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线把平行四边形ABCD分成8个（不含原来）四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义，∵ EF∥AB，HG∥AD，它们的各边都平行．即有□ABCD，□DEOH，□HOFC，□AGOE，□GOFB，□AGHD，□GBCH，□ABFE，□EFCD．答案C 题后反思：先分清图中共有哪些四边形，然后根据定义去判断． 例2：如图8，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD＝8，求这个六边形的周长． 图8 分析：要求其周长，只要求出AF与EF的和即可．如何求？考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形化归为平行四边形来解． 解：如图5，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点H，由已知，△ABG和△DEH都是等边三角形．所以∠G＝∠H＝60°．因为∠C＝∠F＝120°，则四边形CGFH为平行四边形， GF＋FH＝CH＋CG＝CD＋DH＋CB＋BG ＝CD＋BC＋DE＋AB＝8＋1＋2＝11． 所以AF＋FE＝11－1－2＝8． 则该六边形的周长为：8＋8＋1＋2＝19． 题后反思：解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形． 题型2：平行四边形的性质、判定 例1：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中求证：BE=DF． 点， 图9 证明：因为ABCD是平行四边形， 所以 AD//BC，AD=BC， 因为 E，F分别是AD，BC的中点， 所以 ED=AD/2，BF=BC/2， 因为 AD=BC， 所以 ED=BF， 因为 AD//BC，ED=BF， 所以 四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以 BE=DF，且BE//DF。 例2：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形． 图10 证明： ∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴①BE//DF ②∠BEA=∠DFC=90o....................................A ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD...........................................................S AB//CD ∴∠BAE=∠DCF............................................A ∴⊿BAE≌⊿DCF（AAS） ∴BE=DF ∴四边形BEDF是平行四边形【对边平行且相等】 例3：如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形 （ ） A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB 图11 解析：由AE＝CF，OA＝OC，得OE＝OF． ∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形；由∠ADE＝∠CBF，或∠AED＝∠CFB，都能推出△ADE≌△CBF，∴AE＝CF． ∴四边形DEBF是平行四边形． 答案：B 题后反思：本题所用方法叫“排除法”．在做选择题时经常用到，要注意总结． 二、课堂检测达标 1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形． 2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）． （A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD 3．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A）对角线互相垂直 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分 4．判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( ) 6．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形.