∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°， ∴∠F＝∠DBC， ∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝30°； （2）∵OA⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝4， ∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OE＝OB，BE＝∴OE＝
，
． OE＝4，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键． www.czsx.com.cn
6. （2019?广东省广州市?12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
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【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝∵BC＝CD， ∴
＝
，
＝
＝6，
∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝
，
＝
．
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是
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学会利用参数，构建方程解决问题．
7. （2019?贵州省安顺市?12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC＝10，cosC＝
，求AE的长．
【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连结OD、AD，如图， ∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴OD⊥DH， ∴DH为⊙O的切线； （2）证明：连结DE，如图， ∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEC＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C，
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∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5， ∵cosC＝∴AC＝5
＝，
＝
，
，
在Rt△CDH中，∵cosC＝∴CH＝
，
，
﹣2
∴CE＝2CH＝2
∴AE＝AC﹣CE＝5＝3．
8. （2019?广西北部湾经济区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD=∠CBD；
（2）若∠AEB=125°，求
的长（结果保留π）．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD； （2）解：连接OD， ∵∠AEB=125°， ∴∠AEC=55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE=90°， ∴∠CAE=35°，
∴∠DAB=∠CAE=35°， ∴∠BOD=2∠BAD=70°， ∴
的长=
=π．
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