而：?v?ds??v?ds??v?ds??v?ds??v?ds?0
abcb?a?daabbcb?b?a?a?da由于ab和b′a′ 是同一割线的两侧，而且积分方向相反，故： ?v?ds?ab?v?ds?0
b?a???v?ds??v?ds?0 即：bcb?a?da?v?ds???v?ds
bcb?a?da??v?ds??v?ds
LL?
例3.已知不可压缩平面流动的流函数： ??y33?xy?2xy
2（1）求流速分量：
（2）流动是否无旋？若无旋，确定其流速势函数。 解：（1）其流速分量为：
u????y?y?x?2x, v??22???x??(?2xy?2y)?2xy?2y
(2)?u?y?2y??v?x故流动无旋，有势函数?存在。
?d??udx?vdy?(y?x?2x)dx?(2xy?2y)dy
x322????udx???y??c(y)??(y2?x?2x)dx?c(y)?yx?223?x?c(y)
2而：?2xy?c?(y)?v?2xy?2y ?c?(y)??2y
c(y)???2ydy??y?c
x32故，??xy?23?x?y?c22(可令c等于零)
例4： 设平面流动 (a) u = 1, v = 2； 流动 (b) u = 4x, v =-4y。 （1）对于 (a) 是否存在流函数? ？若存在，求 ? 。 （2）对于 (b) 是否存在速度势函数? ？若存在，求 ? 。 解：（1）对于流动 (a) 有：
?u?x?0?v?y?0
显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。
d?????xdx????ydy??vdx?udy??2dx?dy?d(y?2x)
积分后得到：? = y -2x (略去了积分常数) 。 （2）对于流动(b) 有：
?v?x??(?4y)?x?0,?u?y??(4x)?y?0
??z?1??v?u???????0 因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函2??x?y?数。
?d??udx?vdy?4xdx?(?4y)dy?d(2x?2y)
2
2
22积分后得到： φ = 2x -2y (已略去积分常数)
例5: 理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2 ( a > 0 )，并
且在坐标原点处压强为 p0，试求:(1) 上半平面的流动图案； (2) 沿 y = 0 的速度与压强。
解: 令 z = rei?，于是: W(z)?a?rei???ar2ei2??ar2(cos2??isin2?)
2所以: ??arcos2?,2??arsin2?
及：??k?2(k??1,?2,??)
2令 ? = 0，得到零流线： ??0,它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为 90°的直角区域。
流速为: vr?2arcos2?,v???2arsin2?
v??0.
在 y = 0 ( 即? = 0 及 ? = ? ) 上， vr?2ar,对坐标原点和 y = 0 上的任意一点( r , 0 )或者( r , ? )列出伯努利方程。
?(2ar)22?p??p0?
22于是得到 y = 0 上的压强分布为： p?p0?2ar?
例6： y =0 是一无限长固壁，在 y = h 处有一强度为? 的点涡。求固壁 y = 0 上的速度。
解：
y ? h x -? 点涡在z0点：W(z)??2?iln(z?z0) ?ln(z?ih)??2?iln(z?ih)
?W(z)?dWdz2?i??u?iv???11??h ????222?i?z?ihz?ih??z?h??令 y = 0 ，得固壁面上的流速分布：
?u??h??x?h22? ?v?0
例7: z =d，点汇 –Q，z = -d，点源 Q，与均匀流 V? 叠加。求流函数和物面形状。
r V? Q - Q z d d 兰金体 解: 叠加三个基本势流的流函数，得到：
ψ?12V?r2?Q4??r2z?d??z?d?2?Q4??r2z?d??z?d?2
令 ? = 0，得到零流线方程：
12V?r2?Q4??r2z?d??z?d?2?Q4??r2z?d??z?d?2?0
代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。 显然，流函数Ψ = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。这类卵形回转体也称为兰金（Rankine）体。