1vA21?(ln3.32?ln1)?ln3.32ts1s1.5?10?3t???
A21vln3.32103?ln3.32?1.25?10?6秒
第三章 量子力学初步
3.1 波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：
?6.63?10?34?24?1??6.63?10千克?米?秒动量为：p? ?10?10h能量为：
E?hv?hc/?
?6.63?10?34?3?108/10?10?1.986?10?15焦耳。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长??? 用上述电压加速的质
子束的德布罗意波长是多少？
解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：
??h/2meV 对于电子：m?9.11?10?31公斤，e?1.60?10?19库仑
把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：
??12.25VA??12.2510000?27A?0.1225A
??对于质子，m?1.67?10公斤，e?1.60?10?19库仑，代入波长的表示式，得：
??6.626?10?342?1.67?10?27?1.60?10?19?10000?2.862?10?3A
12.25VA的电子德
??3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来??布罗意波长与加速电压的关系式应改为：
??12.25V(1?0.489?10V)A
?6?其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。
证明：德布罗意波长：??h/p
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：
K2?2Km0c2?p2c2
而被电压V加速的电子的动能为：K?eV
(eV)2?p??2m0eVc22
p?2m0eV?(eV)2/c2因此有：
??h/p?h2m0eV?1?1eV2m0c22
一般情况下，等式右边根式中eV/2m0c一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得：
??h2m0eV(1?eV)?24m0ch2m0eV(1?0.489?10?6V)
由于上式中h/2m0eV?12.25VA，其中V以伏特为单位，代回原式得：
????12.25V(1?0.489?10V)A
?6由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
证明：轨道量子化条件是：pdq?nh 对氢原子圆轨道来说，所以有：
?pr?0,p??mr??mvr
2??pd??2??mvr?nh hS?2?r?n?n?,n?1,2,3??mv所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：
?p?d??n?h
?pdr?nhrr其中
pr?mr,p??mr???(prdr?p?d?)?nh,其中n?n??nr而 (prdr?p?d?)?(mrdr?mr?d?dr2??(mrdt?mr?dt)dtdt??2?
???2?d?)
???mv2dt??mvdshds??ds?h?r?ds???n
?因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。
3.5 带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？
解：由题知,电子动能K=1000电子伏特，?x?10米，动量相对偏差为?p/p。 根据测不准原理，有?p?x?经典力学的动量为：
?6hh，由此得：?p? 22?xp?2mK??ph
??3.09?10?5p2?x2mK电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与直线不会有明显
区别。
3.6 证明自由运动的粒子（势能V?0）的能量可以有连续的值。 证明：自由粒子的波函数为：
??Aei???(p?r?Et)h ??（1）
h22自由粒子的哈密顿量是：H??? ??（2）
2m自由粒子的能量的本征方程为：H??E? ??（3）
???(p?r?Et)h22?[Aeh]?E?把（1）式和（2）式代入（3）式，得：?2mi
即：
h22d2d2d2?h(pxx?pyy?pzz?Et)??A(2?2?2)e?E?2mdxdydzp2??E?2mp2?E?2m
i自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有任意的连续值。 3.7 粒子位于一维对称势场中，势场形式入图3-1，即
{0?x?L,V?0x?0,x?L,V?V0
（1）试推导粒子在E?V0情况下其总能量E满足的关系式。
（2）试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值。 解：为方便起见,将势场划分为Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三个区域。 （1） 定态振幅方程为式中?是粒子的质量。
d2?(x)dx2?2?(E?V(x))?(x)?0 2hd2?2?22????0其中??(V0?E) Ⅰ区：22dxh波函数处处为有限的解是：?1(x)?Ae,A是一任意常数。
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